Շարքերի գումարման մեթոդներ

Շարքերի գումարման մեթոդներ, շարքերի ընդհանրացված գումարների կառուցման եղանակներ։ Մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում հանդիպում են սովորական իմաստով գումար չունեցող՝ տարամետ շարքեր, որոնց (ելնելով կոնկրետ մաթեմատիկական ուսումնասիրության պահանջներից կամ ֆիզիկական խնդրի բնույթից) բնական կլիներ վերագրել այս կամ այն գումարը։ Եթե $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ շարքին որևէ $M$ մեթոդով վերագրվում է $S$ գումարը, ապա գրում են՝

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S(M)$

Սովորաբար դիտարկում են գումարման այնպիսի մեթոդներ, որոնք ունեն շարքի սովորական զուգամիտության (գումարման) հատկությունները.

Եթե $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S(M),\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=S^{\prime }(M)$, ապա և $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S-a_0(M)$ և ցանկացած $\alpha$ ու $\beta$-թվերի համար՝

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha S+\beta S^{\prime }(M)$

Բացի այդ, հիմնականում դիտարկում են շարքերի գումարման ռեգուլյար մեթոդներ, այսինքն մեթոդներ, որոնցով յուրաքանչյուր զուգամետ շարքի վերագրվում է այն գումարը, որը շարքի գումարն է՝ սովորական իմաստով։ Հաճախ տարամետ շարքի գումարը սահմանվում է որպես մեկ այլ՝ զուգամետ շարքի սովորական իմաստով գումարի սահման։ Օրինակ, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ շարքի հետ մեկտեղ դիտարկվում է $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{t}^n$ աստիճանային շարքը, եթե վերջինս զուգամիտում է $f(t)$-ին $(|t|<1)$, և եթե $\underset{t\to 1}{\overset{}{\lim }}f(t)=S$, ապա ասում են, որ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ շարքին վերագրվում է $S$ գումարը Աբելի–Պուասոնի մեթոդով՝ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S(A-P)$։ Դիտարկում են նաև աղյուսակային (մատրիցային) գումարման մեթոդներ, եթե $a_0+a_1+....+a_n=S_n$ (շարքի $n$–րդ մասնակի գումարն Է, $T=C_{nm}$–ը անվերջ մատրից, և ցանկացած $m$-ի համար՝ $t_m=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{nm}{S}_n$, այդ դեպքում, եթե $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_m=S$, ապա գրում են՝ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S(T)$։ Մասնավորաբար, եթե $C_{nm}=\frac{1}{n+m}(n⩽m)$ և $C_{nm}=0(n>m)$, ապա $T$ մեթոդն անվանում են Չեզարոյի $(C,1)$ մեթոդ՝ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S(C,1)$, եթե $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_0+S_1+S_2+....+S_m}{m+1}=S$:

$(A-P)$ և $(C,1)$ մեթոդները ռեգուլյար են․ ընդ որում, եթե $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S(C,1)$, ապա $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S(A-P)$ (հակառակ պնդումը ճիշտ չէ)։

Դիտարկենք $1-1+1-1-....$ տարամետ շարքը։ Այս դեպքում $f(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{t}^n=1-t+t^2....=\frac{1}{1+t}$ և հետևաբար՝ $\underset{t\to 1-}{\lim }f(t)=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{1}{1+t}=\frac{1}{2}$: Մյուս կողմից, քանի որ $\frac{S_0+S_1+S_2+....+S_m}{m+1}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2},& m=1,3,5,....,\\ \frac{m+2}{2m+2},& m=2,4,6,....\end{array}$, ապա $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_0+S_1+S_2+....+S_m}{m+1}=\frac{1}{2}$, այսինքն $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{1}{2}(C,1)$: Այսպիսով $1-1+1-1-....$ շարքը սովորական իմաստով գումար չունի՝ տարամետ է, բայց Աբելի-Պուասոնի կամ Չեզարոյի գումարման մեթոդով շարքը ունի գումար (այն $\frac{1}{2}$-ն է)։