Քառանիստ

Քառանիստ

Տետրաէդր կամ քառանիստ (Կաղապար:Lang-grc ← Կաղապար:Lang-grc2 «չորս» + Կաղապար:Lang-grc2 «նստույք, հիմք»), պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ։

Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։

Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։

Քառանիստի յուրաքանչյուր գագաթով անցնում է 3 նիստ և 3 կող, յուրաքանչյուր կողով 2 նիստ։

Էյլերի բանաձևը քառանիստի համար

Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։

4 + 4 - 6 = 2 2 = 2

Քառանիստի տեսակներ

Հավասարանիստ քառանիստ

Հավասարանիստ քառանիստի փռվածք

Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։

Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.

• Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
• Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
• Եռանիստ անկյունները հավասար են։
• Հակադիր անկյունները հավասար են։
• Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
• Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
• Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ։
• Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
• Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
• Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
• Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
• Նիստերի պարագծերը հավասար են։
• Նիստերի մակերեսները հավասար են։
• Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
• Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
• Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
• Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
• Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
• Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
• Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
• Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
• Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։

Քառանիստի ծավալ

Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են ${𝐫}_1(x_1,y_1,z_1)$, ${𝐫}_2(x_2,y_2,z_2)$, ${𝐫}_3(x_3,y_3,z_3)$, ${𝐫}_4(x_4,y_4,z_4)$, որոնք հավասար են։

$V=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{cccc}1& x_1& y_1& z_1\\ 1& x_2& y_2& z_2\\ 1& x_3& y_3& z_3\\ 1& x_4& y_4& z_4\end{array}\right|$

Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատում

Մակերես (Ծավալ)
$S=\sqrt{-\frac{1}{16}\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& a^2& b^2\\ 1& a^2& 0& c^2\\ 1& b^2& c^2& 0\end{array}\right|}$	$V=\sqrt{\frac{1}{288}\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& {\alpha }_{2,1}^2& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{4,1}^2\\ 1& {\alpha }_{2,1}^2& 0& {\alpha }_{3,2}^2& {\alpha }_{4,2}^2\\ 1& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{3,2}^2& 0& {\alpha }_{4,3}^2\\ 1& {\alpha }_{4,1}^2& {\alpha }_{4,2}^2& {\alpha }_{4,3}^2& 0\end{array}\right|}$, որտեղ ${\alpha }_{1,2}$-ն 1 և 2 գագաթների միջև հեռավորությունն է։
$S=\frac{1}{2}a{h}_a$	$V=\frac{1}{3}{S}_1{H}_1$
$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$	$V=\frac{2}{3}\frac{S_1{S}_2}{{\alpha }_{3,4}}\sin ({\varphi }_{1,2})$, որտեղ ${\varphi }_{1,2}$ -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, $S_1$ և $S_2$-ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները։
Կիսորդի երկարություն (մակերես)
$l_c=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}$	$L_{1,2}=\frac{2S_1{S}_2\cos (\frac{{\varphi }_{1,2}}{2})}{S_1+S_2}$
Միջնագծի երկարություն
$m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$	$m_1=\frac{\sqrt{3({\alpha }_{1,2}^2+{\alpha }_{1,3}^2+{\alpha }_{1,4}^2)-({\alpha }_{2,3}^2+{\alpha }_{2,4}^2+{\alpha }_{3,4}^2)}}{3}$
Ներգծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
$r=\frac{2S}{a+b+c}$	$r=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
Արտագծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
$R=\frac{abc}{4S}$	$R=\frac{S_T}{6V}$, որտեղ $S_T$-ն ${\alpha }_{1,2}{\alpha }_{3,4},{\alpha }_{1,3}{\alpha }_{2,4},{\alpha }_{1,4}{\alpha }_{2,3}$ կողմերով եռանկյան մակերեսն է
Կոսինուսների թեորեմ
$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$	$\cos ({\varphi }_{1,2})=\frac{A_{1,2}}{16S_1{S}_2}$, որտեղ ${\varphi }_{1,2}$-ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, $S_1$ և $S_2$ -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները, $A_{1,2}$-ն՝ $\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& {\alpha }_{2,1}^2& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{4,1}^2\\ 1& {\alpha }_{2,1}^2& 0& {\alpha }_{3,2}^2& {\alpha }_{4,2}^2\\ 1& {\alpha }_{3,1}^2& {\alpha }_{3,2}^2& 0& {\alpha }_{4,3}^2\\ 1& {\alpha }_{4,1}^2& {\alpha }_{4,2}^2& {\alpha }_{4,3}^2& 0\end{array}\right)$ մատրիցայի ${\alpha }_{2,1}^2$ տարի հանրահաշվական լրացումը
Սինուսների թեորեմ
$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$	$\frac{S_1}{{\mathrm{\Psi }}_1}=\frac{S_2}{{\mathrm{\Psi }}_2}=\frac{S_3}{{\mathrm{\Psi }}_3}=\frac{S_4}{{\mathrm{\Psi }}_4}$, որտեղ $S_1,S_2,S_3,S_4$-ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի մակերեսներն են$\mathrm{\Psi }=\sqrt{\left|\begin{array}{ccc}1& -\cos (A)& -\cos (B)\\ -\cos (A)& 1& -\cos (C)\\ -\cos (B)& -\cos (C)& 1\end{array}\right|}$, որտեղ $A,B,C$-ն գագաթների երկնիստ անկյուններն են ։
Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմ(Տետրաէդրի երկնիստ անկյունների հարաբերություն)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	$\left|\begin{array}{cccc}1& -\cos \left({\varphi }_{2,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{3,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,1}\right)\\ -\cos \left({\varphi }_{2,1}\right)& 1& -\cos \left({\varphi }_{3,2}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,2}\right)\\ -\cos \left({\varphi }_{3,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{3,2}\right)& 1& -\cos \left({\varphi }_{4,3}\right)\\ -\cos \left({\varphi }_{4,1}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,2}\right)& -\cos \left({\varphi }_{4,3}\right)& 1\end{array}\right|=0$, որտեղ ${\varphi }_{1,2}$ -ը 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է։
Ներգծած և արտագծած շրջանագծերի (մակերևույթների) կենտրոնների հեռավորություն
$R^2-d^2=2Rr$	$R^2-d^2=\frac{S_1{S}_2{\alpha }_{1,2}^2+S_1{S}_3{\alpha }_{1,3}^2+S_1{S}_4{\alpha }_{1,4}^2+S_2{S}_3{\alpha }_{2,3}^2+S_2{S}_4{\alpha }_{2,4}^2+S_3{S}_4{\alpha }_{3,4}^2}{(S_1+S_2+S_3+S_4{)}^2}$, որտեղ $S_1,S_2,S_3,S_4$ -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսներն են։ Արտահայտության երկրորդ գրառում. $R^2-d^2=2rT,$ որտեղ $T$ -ն ներգծած մակերևույթի և երեք գագաթներով և կենտրոնով անցնող մակերևույթի կենտրոնների հեռավորությունն է։

Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններում

Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալ

Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։

Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերություն

$\det \mathrm{\Psi }>0$ — գնդային քառանիստի համար։

$\det \mathrm{\Psi }<0$ — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ $\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{cccc}1& -\cos (A_{2,1})& -\cos (A_{3,1})& -\cos (A_{4,1})\\ -\cos (A_{2,1})& 1& -\cos (A_{3,2})& -\cos (A_{4,2})\\ -\cos (A_{3,1})& -\cos (A_{3,2})& 1& -\cos (A_{4,3})\\ -\cos (A_{4,1})& -\cos (A_{4,2})& -\cos (A_{4,3})& 1\end{array}\right)$ -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։

$A_{i,j}$-ն  i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։

Կոսինուսների թեորեմ

$\cos (A_{i,j})=-\frac{{\mathrm{\Phi }}_{i,j}}{\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{i,i}{\mathrm{\Phi }}_{j,j}}}$ — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

$\cos ({\alpha }_{i,j})=\frac{{\mathrm{\Psi }}_{i,j}}{\sqrt{{\mathrm{\Psi }}_{i,i}{\mathrm{\Psi }}_{j,j}}}$ — գնդային քառանիստի համար։

$\mathrm{ch}({\alpha }_{i,j})=\frac{{\mathrm{\Psi }}_{i,j}}{\sqrt{{\mathrm{\Psi }}_{i,i}{\mathrm{\Psi }}_{j,j}}}$ — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ $\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cccc}1& \cos ({\alpha }_{2,1})& \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{4,1})\\ \cos ({\alpha }_{2,1})& 1& \cos ({\alpha }_{3,2})& \cos ({\alpha }_{4,2})\\ \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{3,2})& 1& \cos ({\alpha }_{4,3})\\ \cos ({\alpha }_{4,1})& \cos ({\alpha }_{4,2})& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1\end{array}\right)$ -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cccc}1& \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})& 1\end{array}\right)$-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

${\alpha }_{i,j}$ -ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։

${\mathrm{\Psi }}_{i,j}$-ն $\mathrm{\Psi }$ մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։

Սինուսների թեորեմ

$\frac{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}{{\mathrm{\Psi }}_{1,1}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}{{\mathrm{\Psi }}_{2,2}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}{{\mathrm{\Psi }}_{3,3}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}{{\mathrm{\Psi }}_{4,4}}$ — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղ

$\left|\begin{array}{ccccc}1& \cos ({\alpha }_{2,1})& \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{4,1})& 1\\ \cos ({\alpha }_{2,1})& 1& \cos ({\alpha }_{3,2})& \cos ({\alpha }_{4,2})& 1\\ \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{3,2})& 1& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1\\ \cos ({\alpha }_{4,1})& \cos ({\alpha }_{4,2})& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& \frac{1}{{\cos }^2(R)}\end{array}\right|=0$ — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. $\frac{1}{\cos (R)}=\frac{|\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}\overrightarrow{n_1}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\overrightarrow{n_2}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\overrightarrow{n_3}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\overrightarrow{n_4}|}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$, որտեղ $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3},\overrightarrow{n_4}$ քառանիստի նիստերի նորմալներն են։

Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով. $\frac{1}{\cos (R)}=\frac{|\left|\begin{array}{ccccc}0& \overrightarrow{i_1}& \overrightarrow{i_2}& \overrightarrow{i_3}& \overrightarrow{i_4}\\ 1& X_1& Y_1& Z_1& T_1\\ 1& X_2& Y_2& Z_2& T_2\\ 1& X_3& Y_3& Z_3& T_3\\ 1& X_4& Y_4& Z_4& T_4\end{array}\right||}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$:

$\left|\begin{array}{ccccc}1& \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})& 1\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{2,1})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})& 1\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{3,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{3,2})& 1& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})& 1\\ \mathrm{ch}({\alpha }_{4,1})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,2})& \mathrm{ch}({\alpha }_{4,3})& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& \frac{1}{{\mathrm{ch}}^2(R)}\end{array}\right|=0$ — հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։

Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղ

$\frac{1}{{\sin }^2(r)}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}+{\mathrm{\Phi }}_{2,2}+{\mathrm{\Phi }}_{3,3}+{\mathrm{\Phi }}_{4,4}+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\cos ({\alpha }_{1,2})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\cos ({\alpha }_{1,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\cos ({\alpha }_{1,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\cos ({\alpha }_{2,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\cos ({\alpha }_{2,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\cos ({\alpha }_{3,4})}{\det \mathrm{\Phi }}$ — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. $\frac{1}{\sin (r)}=\frac{|\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}\overrightarrow{r_1}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\overrightarrow{r_2}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\overrightarrow{r_3}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\overrightarrow{r_4}|}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$, որտեղ $\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3},\overrightarrow{r_4}$ քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։

$\frac{1}{{\mathrm{sh}}^2(r)}=-\frac{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}+{\mathrm{\Phi }}_{2,2}+{\mathrm{\Phi }}_{3,3}+{\mathrm{\Phi }}_{4,4}+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}\mathrm{ch}({\alpha }_{1,2})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\mathrm{ch}({\alpha }_{1,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\mathrm{ch}({\alpha }_{1,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}\mathrm{ch}({\alpha }_{2,3})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\mathrm{ch}({\alpha }_{2,4})+2\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}\mathrm{ch}({\alpha }_{3,4})}{\det \mathrm{\Phi }}$ — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորություն

$\frac{\cos (d)}{\sin (r)\cos (R)}=\frac{\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}}+\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}}{\sqrt{\det \mathrm{\Phi }}}$ — գնդային քառանիստի համար։

Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներով

• Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

${𝐉}_r(\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{1,1}},\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{2,2}},\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{3,3}},\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_{4,4}}).$ — գնդային քառանիստի համար։

• Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

${𝐉}_R=\left|\begin{array}{ccccc}0& {𝐉}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐉}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐉}_{\mathrm{𝟑}}& {𝐉}_{\mathrm{𝟒}}\\ 1& 1& \cos ({\alpha }_{1,2})& \cos ({\alpha }_{1,3})& \cos ({\alpha }_{1,4})\\ 1& \cos ({\alpha }_{2,1})& 1& \cos ({\alpha }_{2,3})& \cos ({\alpha }_{2,4})\\ 1& \cos ({\alpha }_{3,1})& \cos ({\alpha }_{3,2})& 1& \cos ({\alpha }_{3,4})\\ 1& \cos ({\alpha }_{4,1})& \cos ({\alpha }_{4,2})& \cos ({\alpha }_{4,3})& 1\end{array}\right|.$ — գնդային քառանիստի համար։

Գրականություն

• Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
• Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.