Արտադրական ֆունկցիա

Արտադրական ֆունկցիա, տնտեսամաթեմատիկական քանակական կախվածություն արտադրանքի ծավալի և արտադրական գործոնների, օրինակ՝ ռեսուրսների ծախսերի, տեխնոլոգիաների մակարդակի միջև։ Կարող է արտահայտվել որպես իզոքվանտների բազմություն։

Ագրեգացված արտադրական ֆունկցիան կարող է արտահայտել գյուղատնտեսության արտադրանքի ծավալներն ամբողջությամբ։

Ժամանակի որոշակի պահին կամ ժամանակի տարբեր պահերի արտադրության ծավալի վրա ազդող գործոնների վերլուծությունից կախված՝ արտադրական ֆունկցիաները բաժանվում են ստատիկ արտադրական ֆունկցիաների $P=f(x_1,x_2,...,x_n)$ և դինամիկ $P=f(x_1(t),...,x_k(t),...,x_n)$: Ըստ ներքին կառուցվածքի՝ առանձնացվում են գծային ($P=a_1\cdot x_1+...+a_n\cdot x_n$), մուլտիպլիկատիվ-աստիճանական ձևերը ($P=\prod _{i=1}^N{x}_i^{\alpha }{}^{{}_i}$, որևէ գործոնի բացակայության դեպքում նման ֆունկցիաները ձգտում են զրոյի)։

Նեոդասական արտադրական ֆունկցիա

Դիցուք, $Y$՝ արտադրանքն է, իսկ $x=(x_1,x_2,...,x_n)$՝ արտադրության գործոնները (սովորաբար $K$՝ կապիտալը և $L$՝ աշխատանքը)։ $Y=F(x)$ արտադրական ֆունկցիան նեոդասական է, եթե կատարվում են հետևյալ պայմանները.

1) Գործոնների դրական և նվազող սահմանային արտադրողականություն.

$F_{x_i}^{\text{'}}>0,F_{x_i}^{{\text{'}}^{\prime }}<0$

2) Մասշտաբից կայուն հատույց.

$F(\lambda x)=\lambda F(x)$

Այստեղից հետևում է, մասնավորապես, որ արտադրական ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել որպես $Y/x_i=f(x/x_i)$, մասնավորապես, երկու գործոնների՝ կապիտալի և աշխատանքի համար, սովորաբար ներկայացնում են հետևյալ կերպ՝ $Y/L=f(K/L)$, այսինքն՝ աշխատանքի արտադրողականության կախվածություն իր կապիտալազինվածությունից։ Բացի այդ՝ կատարված է Էյլերի թեորեմը միասեռ ֆունկցիաների մասին. $\sum _{i=1}^n{F}_{x_i}^{\text{'}}{x}_i=Y$:

3) Ինադայի պայմաններ.

$\underset{x_i\to 0}{\lim }{F}_{x_i}^{\text{'}}=\mathrm{\infty }$, $\underset{x_i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_{x_i}^{\text{'}}=0$

Ինադայի առաջին պայմանը նշանակում է, որ բոլոր գործոններն անհրաժեշտ են արտադրության համար։ Երկրորդ՝ արտադրանքի ծավալը անսահմանափակ աճում է յուրաքանչյուր գործոնի անսահմանափակ աճի դեպքում։

4) Լրացուցիչ հատկություն է արտադրական ռեսուրսի «կարևորությունը». ռեսուրսը կարևոր է համարվում, եթե արտադրանքի համար պահանջվում է ռեսուրսի դրական ծավա.

$F(0,L)=F(K,0)=0$:

Արտադրական ֆունկցիաների օրինակներ

Քոբ-Դուգլասի ֆունկցիա

• Քոբ-Դուգլասի արտադրական ֆունկցիա. $Y=A\times L^{\lambda }\times K^{1-\lambda }$, որտեղ ենթադրվում է արտադրության ծավալի ճկունությունը՝ ըստ արտադրության գործոնների։
• CES արտադրական ֆունկցիա. $Y=A\cdot ((1-\alpha )\cdot K^{-\rho }+\alpha \cdot L^{-\rho }{)}^{-\frac{\beta }{\rho }}$
• Գծային արտադրական ֆունկցիա. $Y=aK+bL$
• Լեոնտևի արտադրական ֆունկցիա. $Y=\min (K/a,L/b)$