Բեսելի ֆունկցիաներ

Կաղապար:Անաղբյուր Բեսելի ֆունկցիաները, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են։

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-{\alpha }^2)y=0$

որտեղ $\alpha$−ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ։ Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են։ Չնայած նրան, որ $\alpha$ և $(-\alpha )$ առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի $\alpha$-ով հարթ։

Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին։

Կիրառությունը

Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ։ Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

• Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
• Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
• Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
• Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
• Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
• Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում

Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ։

Սահմանումներ

Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ։ Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ։

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված $J_{\alpha }(x)$, դրանք հանդիսանում են լուծումներ, $x=0$ կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական $\alpha$: Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով։ Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական $\alpha$-ների դեպքում)։

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$

Այստեղ $\mathrm{\Gamma }(z)$-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա։ Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն $\frac{1}{\sqrt{x}}$, չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական։

Բերված են $J_{\alpha }(x)$ գրաֆիկները $\alpha =0,1,2$ արժեքների համար։

Եթե $\alpha$-ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ, $J_{\alpha }(x)$ և $J_{-\alpha }(x)$ ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ։ Բայց եթե

$J_{-\alpha }(x)=(-1{)}^{\alpha }{J}_{\alpha }(x)$

Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են։ Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան։

Բեսելի ինտեգրալներ

$\alpha$ ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը։

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau$

Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը։

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}d\tau$

Նեյմանի ֆունկցիաներ

Նեյմանի ֆունկցիաները Բեսելի $Y_{\alpha }(X)$ հավասարման լուծումներն են,որոնք անվերջ են $x=0$ կետում։

Այս ֆունկցիան $J_{\alpha }(x)$–ի հետ կապված է հետեւաբար հարաբերակցությամբ`

$\frac{Y_{\alpha }(x)=J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )}$

որտեղ ամբողջ $\alpha$ դեպքում վերցվում է սահմանը $\alpha$—ով,հաշվարկվող,օրինակ`Լոպիտալի կանոնի օգնությամբ։

Նեյմանի ֆունկցիաներին անվանում են նաեւ երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ։

Առաջին եւ երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների քծային կոմբինացիան հանդիսանում է Բեսելի հավասարման լրիվ լուծումը։

$y(x)=C_1{J}_{\alpha }(x)+C_2{Y}_{\alpha }(x)$

Ներքեւում բեված է $Y_{\alpha }(x)$ գրաֆիկը $\alpha =0,1,2$ արժեքների համար։

Հատկություններ

Օրթոգոնալ

Ենթադրենք ${\mu }_1,{\mu }_2$ Բեսելի $J_{\alpha }(x)$ ֆունկցիայի զրոներն են։ Ապա

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{J}_{\alpha }({\mu }_{1}x)J_{\alpha }({\mu }_{2}x)dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{;}{\mu }_1\ne {\mu }_2\\ \\ \frac{1}{2}(J{\text{'}}_{\alpha }({\mu }_1){)}^2& \text{;}{\mu }_1={\mu }_2\end{array}$

Ասիմպտոտիկա

Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր։ Փոքր փաստարկների դեպքում $(0<x<<\sqrt{\alpha +1})$ և ոչ բացասական $\alpha$-ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

$J_{\alpha }(x)⟶\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }$

$Y_{\alpha }(x)⟶\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }[\ln (x/2)+\gamma ]& \text{;}\alpha =0\\ -\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\pi }{\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{\alpha }& \text{;}\alpha >0\end{array}$

Որտեղ $\gamma$—Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ $\mathrm{\Gamma }$-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է։ Մեծ փաստարկների համար $(x>>|{\alpha }^2-\frac{1}{4}|)$ բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

$J_{\alpha }(x)⟶\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x-\frac{\alpha \pi }{2}-\frac{\pi }{4})$

$Y_{\alpha }(x)⟶\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin (x-\frac{\alpha \pi }{2}-\frac{\pi }{4})$

Հիպերերկրաչափական շարք

Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով։

$J_{\alpha }(z)=\frac{(z/2{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{F}_1(\alpha +1;-z^2/4)$

Այսպիսով ամբողջ $\alpha$-ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան եզակի անալիտիկ է, իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`բազմակի անալիտիկ:

Գեներացնող ֆունկցիա

Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

$e^{\frac{z}{2}(w-\frac{1}{w})}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{J}_n(z)w^n$

Հարաբերակցություն

Գումարման թեորեմա

Ցանկացած ամբողջ $n$-ի և կոմպլեքս $z_1,z_2$-ի համար կատարվում է`

$J_n(z_1+z_2)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_k(z_1)J_{n-k}(z_2)$

Ինտեգրալային արտահայտություններ

Ցանկացած $a$ և $b$ (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-at}{J}_n(bt)\mathrm{d}t=\frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a{)}^n}$

այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-at}{J}_0(bt)\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Գրականություն

• Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.