Բրետշնայդերի բանաձև

Նկար 1

Երկրաչափության մեջ Բրետշնայդերի բանաձևը կապ է հաստատում ուռուցիկ քառանկյան A մակերեսի, a, b, c, d կողմերի, $\alpha$ և $\gamma$ հանդիպակած անկյուների միջև՝

$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

$=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )]}.$

հավասարմամբ, որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է, $\alpha$-ն և $\gamma$-ն՝ երկու հանդիպակած անկյունները։

Գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Անտոն Բրետշնայդերը ապացուցել է այս հավասարումը 1842 թվականին։ Հետաքրքրական է այն, որ նույն թվականին հավասարումը ապացուցել է նաև Կարլ Գեորգ Քրիստոնյա վոն Շտաուդը։

Ապացույց

$\mathrm{△}DAB$ և $\mathrm{△}BCD$ նշանակենք համապատասխանաբար ${𝒜}_1$ և ${𝒜}_2$ տառերով։ Ըստ եռանկյան մակերեսի

${𝒜}_1=\frac{ab\sin \alpha }{2}$, ${𝒜}_2=\frac{cd\sin \gamma }{2}$ ըստ մակերեսների աքսիոմի

${𝒜}^2=\frac{1}{4}(a^2{b}^2{\sin }^2\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma +c^2{d}^2{\sin }^2\gamma )$ (1)

ըստ կոսինուսների թեորեմի e անկյունագիծը կարելի է ներկայացնել երկու եղանակով՝

$e^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha$

$e^2=c^2+d^2-2cd\cos \gamma$

այստեղից՝

$a^2+b^2-2ab\cos \alpha =c^2+d^2-2cd\cos \gamma$

հավասարման երկու կողմերին գումարելով $2ab\cos \alpha -c^2-d^2$ արտահայտությունը կստանանք

$a^2+b^2-c^2-d^2=2ab\cos \alpha -2cd\cos \gamma$

կամ՝

${(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2=4a^2{b}^2{\cos }^2\alpha -8abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +4c^2{d}^2{\cos }^2\gamma$

հավասարումը, որը համարժեք է

$\frac{1}{4}(a^2{b}^2{\cos }^2\alpha -2abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +c^2{d}^2{\cos }^2\gamma )-\frac{1}{16}{(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2=0$

արտահայտությանը, որը տեղադրելով (1) հավասարման մեջ և օտվելով ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ և $\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$ նույնություններից կստանանք

${𝒜}^2=\frac{1}{4}(a^2{b}^2+c^2{d}^2-2abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma ))-\frac{1}{16}{(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2$

${𝒜}^2=\frac{1}{16}(4a^2{b}^2+4c^2{d}^2-{(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2)-\frac{1}{2}abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma )$

${𝒜}^2=\frac{1}{16}(-a^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2a^2{d}^2+2b^2{c}^2+2b^2{d}^2+2c^2{d}^2)-\frac{1}{2}abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma )$

${𝒜}^2=\frac{1}{16}(-a^4-b^4-c^4-d^4+2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2a^2{d}^2+2b^2{c}^2+2b^2{d}^2+2c^2{d}^2+8abcd-8abcd)-\frac{1}{2}abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma )$

${𝒜}^2=\frac{1}{16}(-a+b+c+d)\cdot (a-b+c+d)\cdot (a+b-c+d)\cdot (a+b+c-d)-\frac{1}{2}abcd-\frac{1}{2}abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma )$

${𝒜}^2=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-\frac{1}{2}abcd-\frac{1}{2}abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma )$

${𝒜}^2=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-\frac{1}{2}abcd\cdot (1+\cos (\alpha +\gamma ))$

${𝒜}^2=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

Տես նաև

• Բրահմագուպտայի բանաձև

Աղբյուրներ

• Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, Կաղապար:ISSN
• E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy)
• C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German)
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:MathWorld
• Bretschneider's formula at proofwiki.org