Բրահմագուպտայի բանաձև

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ Բրահմագուպտայի բանաձևը կապ է հաստատում ներգծյալ քառանկյան կողմերի և մակերեսի միջև։

Բանաձև

Եթե ներգծյալ քառանկյան մակերեսը Կաղապար:Math է, իսկ կողմերը՝ Կաղապար:Math, Կաղապար:Math, Կաղապար:Math, Կաղապար:Math, ապա՝

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

որտեղ Կաղապար:Math–ը քառանկյան կիսապարագիծն է և հավասար է՝

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Բանաձևը եռանկյան համար Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Եռանկյունը կարելի է դիտել որպես քառանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, եթե Կաղապար:Math կողմը ընդունենք զրո, ապա ներգծյալ քառանկյունը վերածվում է ներգծյալ եռանկյան (քանի որ բոլոր եռանկյուններին հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ), իսկ Բրահմագուպտայի բանաձևը՝ Հերոնի բանաձևի պարզեցված ձևն է։

Կիսապարագծից չօգտվելու դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝

$K=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)},$

որը հավասար է

$K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}$ հավասարմանը։

Ապացույց

Գծանկար ապացույցի համար

Եռանկյունաչափական ապացույց

Ներգծյալ քառանկյան Կաղապար:Math մակերեսը հավասար է Կաղապար:Math և Կաղապար:Math եռանկյունների մակերեսների գումարին (գծանկար)․

$=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin C$։

Բայց քանի որ Կաղապար:Math–ն ներգծյալ քառանկյուն է, ուրմեն Կաղապար:Math։ Հետևաբար՝ Կաղապար:Math։ Այստեղից՝

$K=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin A$

$K^2=\frac{1}{4}(pq+rs{)}^2{\sin }^{2}A$

$4K^2=(pq+rs{)}^2(1-{\cos }^{2}A)=(pq+rs{)}^2-(pq+rs{)}^2{\cos }^{2}A.$

Կոսինուսների թեորեմի օգնությամբ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math եռանկյուներից հաշվելով ընդհանուր Կաղապար:Math կողը, կստանանք՝

$p^2+q^2-2pq\cos A=r^2+s^2-2rs\cos C.$

Փոխարինելով Կաղապար:Math (քանի որ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math անկյունները հանդիպակաց են) և ձևափոխելով բանաձևը, կստանանք՝

$2(pq+rs)\cos A=p^2+q^2-r^2-s^2.$

Տեղադրելով սա մակերեսի բանաձևի մեջ՝ կունենանք՝

$4K^2=(pq+rs{)}^2-\frac{1}{4}(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2$

$16K^2=4(pq+rs{)}^2-(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2.$

Հավասարման աջ կողմը Կաղապար:Math տեսքի է, ուստի կարելի է ձևափոխել

$[2(pq+rs)-p^2-q^2+r^2+s^2][2(pq+rs)+p^2+q^2-r^2-s^2]$

որը հավասար է հետևյալ հավասարումներին՝

$=[(r+s{)}^2-(p-q{)}^2][(p+q{)}^2-(r-s{)}^2]$

$=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).$

Ներմուծելով Կաղապար:Math կիսապարագիծը,

$16K^2=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).$

և քառակուսի արմատ հանելով կստանանք՝

$K=\sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.$

Ոչ-եռանկյունաչափական հավասարում

Բանաձևը կարելի է նաև ապացուցել օգտվելով եռանկյան մակերեսի Հերոնի բանաձից՝ հաշվելով նման երկու եռանկյուները։

Ընդլայնում ոչ ներգծյալ քառանկյունների համար

Ոչ ներգծյալ քառանկյան դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կարելի է վերաձևակերպել օգվելով քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյուններից.

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$

որտեղ Կաղապար:Math-ն կամայական երկու հանդիպակաց անկյունների կիսագումարն է։ (Անկյունների ընտրությունը էական չէ. եթե ընտրվի մյուս զույգը, ապա դրանց կիսագումարը կլինի Կաղապար:Math։ Քանի որ Կաղապար:Math, ուրեմն՝ Կաղապար:Math)։ Այս՝ ավելի ընդլայնված բանաձևը, հայտնի է Բրետշնայդերի բանաձև անվամբ։

Ներգծյալ քառանկյան հատկության համաձայն՝ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է 180°։ Ուստի, ներգծյալ քառանկյան դեպքում Կաղապար:Math–ն 90° է, հետևաբար, Բրետշնայդերի բանաձևը ստանում է Բրահմագուպտայի բանաձևի տեսքը․

$abcd{\cos }^2\theta =abcd{\cos }^2\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,$

Սրանից հետևում է, որ տրված կողմերով քառանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի ներգծյալ քառանկյունը։

Ցանկացած ուռուցիկ քառանկյան մակերես հավասար է՝

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$

որտեղ Կաղապար:Math–ն և Կաղապար:Math–ն քառանկյան անկյունագծերն են։ Ներգծյալ քառանկյան դեպքում, ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի, Կաղապար:Math և այս բանաձևը վերածվում է Բրահմագուպտայի բանաձևի։

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula". MathWorld. 

This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.