Ներգծյալ քառանկյուն

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ներգծյալ են անվանում այն քառանկյունը որի բոլոր գագաթները գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Ի տարբերություն եռանկյունների ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ։

Հայտանիշներ

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմերի միջնուղահայացները հատվում են մի կետում։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է ուղիղ անյանը։ $A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.$ Կամ որ նունն է՝

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքու եթե քառանկյան յուրաքանչյուր անկյան արտաքին անկյունը հավասար է հանդիպակաց անկյան ներիքին անկյանը։

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմի և անկյունագծի կազմած անկյունը հավասար է հանդիպակաց կողմի և մյուս անկյունագծի կազմած անկյանը։

Պտղոմեոսի թեորեմը ցույց է տալիս որ ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար հանդիպակաց կողմերի արտադրյալների գումարին Կաղապար:Rp։

$pq=ac+bd.$

Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ

$\tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2}=\tan \frac{B}{2}\tan \frac{D}{2}=1.$

Եթե AC և BD հատվածները հատվում են X կետում ապա ստացված քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում եթե$AX\cdot XC=BX\cdot XD.$

Մակերես

Ներգծյալ քառանկյան S մակերեսը կարելի է հաշվել Բրահմագուպտայի բանաձևով։

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ որտեղ p-ն հավասար է քառանկյան կիսապարագծին իսկ a, b, c և d քառանկյան կողմերը։ Այս բանաձևը կարելի դիտարկել որպես Բրետշնայդերի բանաձևի մասնավոր դեպք։ d=0 դեպքում ներգծյալ քառանկյունը վերծվում է եռանկյան և իսկ բանաձևը Հերոնի բանաձևի։

Ներգծյալ քառանկյունը նույն կողմերն ունեցող քառանկյուներից ամենամեծն է։ Սա կարելի է ապացուցել Բրետշնեյդերի բանաձևի ինչպես նաև մաթեմատիկական անալիզի միջոցով։

Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել a, b, c, d կողմերով և a, b կողմերի կաղմած A անկյունով

$K=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin B$ բանաձևով,

կամ

$K=\frac{1}{2}(ac+bd)\sin \theta$

որտեղ θ անկյունագծերի կազմած անկյունն է։

Եթե A հավասար չէ ուղիղ անկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև

$K=\frac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan A.$ բանաձևով

Ներգծյալ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև արտագծյալ շրջանագծի շառավղի միջոցով հետևյալ բանաձևի միջոցով՝

$K=2R^2\sin A\sin B\sin \theta$

որպես ուղղակի հետևանք

$K\le 2R^2$

անհավասարությունը հավասար է այն և միայն այն դեպքում երբ քառանկյունը քառակուսի է։

Անկյունագծեր

Եթե ներգծյալ քառանկյան գագաթներն են A, B, C, D և kողմերը a=AB, b=BC, c=CD և d=DA անկյունագծեր AC-ի և BD-ի համապատասխանաբար p և q արժեքները կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով՝

$p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$

$q=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}.$

Ըստ Պտղոմեոսի երկրորդ թեորեմի՝

$\frac{p}{q}=\frac{ad+cb}{ab+cd}$

Օգտագործելով նույն թեորեմը ստանում են ակյունագծերի գումարի բանաձևը՝

$p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}$

Արտահայտությունները հավասար են միայն այն դեպքում երբ անկյունագծերը հավասար են։

Ցանկացաց ուռուցիկ ներգծյալ քառանկյան աանկյունագծերը հատվելիս քառանկյունը տրոհում են չորս եռանյուների, ընդ որում հանդիպակաց եռանկյունները նման են։

Եթե ABCD-ն ներգծյալ քառանկյուն է ընդ որում AC և BD ուղիղների հատման կետը E-ն է ունեմն՝

$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\cdot \frac{AD}{CD}$

Անկյուներ

a, b, c, d կողմերով s կիսապարագծով և a, b կողմերով կաղմված A անկյամբ ներգծյալ քառանկյան A անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տրվում են հետևյալ բանաձևերով

$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$

${\displaystyle }$$\sin A=\frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)}$

$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}$

Անկյունագծերի կազմած θ անկյան տանգենսը հավասար է՝

$\tan \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}$

Եթե a և c հանդիպակաց հատվածների շարունակությունները հատվելիս կազմում են $\varphi$ անկյուն ապա՝

$\cos \frac{\varphi }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d{)}^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}$

Պարամեշվարայի բանաձև

Քառանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը կարելի է արտահայտել քառանկյան a, b, c, d կողմերով Պարամեշվարայի բանաձև օգնությամբ

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է։

Տես նաև

• Քառանկյուն