Դիոֆանտյան հավասարում

Գտնելով ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը, կարող ենք լուծել հետևյալ Դիոֆանտյան հավասարումը՝ Կաղապար:Math:

Մաթեմատիկայում Դիֆանտյան հավասարում, այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ Գծային դիֆանտանտային հավասարումը հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։

Դիոֆանտյան խնդիրներում հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ։

Օրինակներ

Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում Կաղապար:Math, Կաղապար:Math, Կաղապար:Math, և Կաղապար:Math տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։

Կաղապար:Math	Գծային Դիոֆանտյան հավասարում։
Կաղապար:Math	Տրված հավասարման լուծում կարող է հանդիսանալ հետևյալ դրական ամբողջ թիվը՝ 123 + 13 = 93 + 103 = 1729: Այն իհարկե ունի անվերջ քանակով լուծումներ։
Կաղապար:Math	Կաղապար:Math = 2 լուծմանը Կաղապար:Math համապատասխանում են բոլոր Պյութագորեան եռյակները։ Իսկ Կաղապար:Math -ի ավելի մեծ արժեքների դեպքում որոշ լուծումներ կարելի է գտնել նաև Ֆերմայի վերջին թեորեմն օգտագործելով։
Կաղապար:Math	Վերջինս կոչվում է Պելլի հավասարում, որը կոչվել է ի պատիվ անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Պելի։ Ուսումնասիրվել է Բրահմագուպտայի (7-րդ դարում) և Ֆերմայի (17-րդ դարում) կողմից։
Կաղապար:Math	Էրդոս-Ստրաուսի հավասարումը պնդում է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերը, որոնց համար Կաղապար:Math ≥ 2, գոյություն ունի Կաղապար:Math, Կաղապար:Math, և Կաղապար:Math, ցանկացած լուծում։ Չնայած, որ հավասարումը հիմնականում չի հանդիպում բազմանդամի տեսքով, սակայն վերը նշված հավասարումը ապացուցում է, որ այդպիսիք գոյություն ունեն՝ Կաղապար:Math:
Կաղապար:Math	Ըստ Էյլերի տրված հավասարումն ունի մի շարք զրոյական լուծումներ։ Այս պնդումն ապացուցվել Էլկիեսի կողմից։ Հավասարման ամենափոքր լուծումը գտնվել է օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր։

Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներ

Մեկ հավասարում

Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ Կաղապար:Math, որտեղ Կաղապար:Math, Կաղապար:Math և Կաղապար:Math տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝

Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում (որտեղ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math տրված ամբողջ թվեր են) եթե միայն Կաղապար:Math թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար Կաղապար:Math և Կաղապար:Math թվերի համար, ավելին եթե Կաղապար:Math թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝ Կաղապար:Math, որտեղ Կաղապար:Math թիվը կամայական թիվ է, իսկ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math թվերը քանորդ են հանդիսանում Կաղապար:Math և Կաղապար:Math թվերի(համապատասխանաբար) համար։

Չինական մնացորդի թեորեմ

Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝ Կաղապար:Math թվերը և Կաղապար:Math փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ Կաղապար:Math թվերը Կաղապար:Math քանորդ, Կաղապար:Math թիվը հանդիսանա արտադրյալ Կաղապար:Math. թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի Կաղապար:Math, ընդ որում՝

$\begin{array}{cc}x& =a_1+n_1{x}_1\\ & ⋮\\ x& =a_k+n_k{x}_k\end{array}$

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝

Կաղապար:Math,

որտեղ Կաղապար:Math -ն Կաղապար:Math չափի մատրիքս է, իսկ Կաղապար:Math-ը և Կաղապար:Math-ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math:

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝

Կաղապար:Math

Որտեղ Կաղապար:Math հավասար չէ զրոյի, իսկ Կաղապար:Math թիվը մեծ չէ Կաղապար:Math-ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝

Կաղապար:Math.

ընդ որում՝

Կաղապար:Math for Կաղապար:Math,

Կաղապար:Math for Կաղապար:Math:

Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ Կաղապար:Math դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն Կաղապար:Math հավասարումը որոշված է այնպիսի Կաղապար:Math-ի համար, որ Կաղապար:Math:

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math for Կաղապար:Math, ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝

$V\left[\begin{array}{c}\frac{d_1}{b_{1,1}}\\ ⋮\\ \frac{d_k}{b_{k,k}}\\ h_{k+1}\\ ⋮\\ h_n\end{array}\right],$

որտեղ Կաղապար:Math կամայական ամբողջ թվեր են։

Արտաքին հղումներ

• Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
• Diophantine Equation Կաղապար:Webarchive. From PlanetMath.
• Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009