Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա,$f(x)=a^x$ տեսքի մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որտեղ $a$-ն կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ $x$-ը՝ ցուցչի աստիճան։

• Իրական դեպքում ցուցչի $a$ հիմքը որոշակի ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ ֆունկցիայի արգումենտը հանդիսանում է իրական ցուցչի աստիճան։
• Կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունում դիտարկվում է առավել ընդհանուր դեպք, երբ արգումենտը և աստիճանի ցուցիչը կարող են լինել կամայական կոմպլեքս թիվ։
• Առավել ընդհանուր տեսքով՝ $u^v$, մտցվել է Լեյբնիցի կողմից 1695 թվականին։

Հատուկ առանձնացվում է այն դեպքը, երբ որպես աստիճանի հիմք հանդես է գալիս $e$ թիվը։ Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենտային (իրական կամ կոմպլեքս)։

Իրական ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը

Դիցուք $a$-ն ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ $x$-ը ռացիոնալ թիվ՝$\frac{m}{n}$։ Այդ դեպքում $a^x$-ը որոշվում է հետևյալ կանոններով՝

• Եթե $x>0$, ապա $a^x=\sqrt[n]{a^m}$ ։
• Եթե $x=0$ և $a\ne 0$ , ապա $a^x=1$։
• $0^0$ -ի արժեքը որոշված չէ։
• Եթե $x<0$ և $a>0$ , ապա$a^x=\frac{1}{a^{|x|}}$։
• $a^x$-ի արժեքը $x<0$, $a=0$-ի դեպքում որոշված չէ։

Ցանկացած $x$ իրական ցուցչի դեպքում $a^x$-ը կարելի է որոշել որպես $a^{r_n}$ հաջորդականության սահման, որտեղ $r_n$-ը $x$-ին ձգտող ռացիոնալ թիվ է։ Էքսպոնենտայի համար գոյություն ունեն նաև այլ սահմանում սահմանի օգնությամբ, օրինակ՝

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$։

Հատկություններ

Ցուցչային ֆունկցիայի գրաֆիկը

• $a^0=1$
• $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$
• $(a^x{)}^y=a^{xy}$
• $(ab{)}^x=a^x{b}^x$

Օգտագործելով $\ln x$ բնական լոգարիթմի ֆունկցիան, կարելի է ցուցչային ֆունկցիան արտահայտել կամայական դրական հիմքով էքսպոնենտայի միջոցով՝

$a^x=e^{x\cdot \ln a}$։

Այս կապը հնարավորություն է տալիս սահմանափակվել էքսպոնենտայի հատկության ուսումնասիրմամբ։ Անալիտիկ հատկություններ՝

$\frac{d}{dx}{a}^x=(\ln a)a^x$.

Մասնավորապես՝

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$ Կաղապար:Hider Շարքի վերածում՝ $e^x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$

Ասիմպտոտիկա

Ցուցչային ֆունկցիան աճում է դեպի անվերջություն ցանկացած աստիճանային ֆունկցիայից արագ՝

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^n}{a^x}=0$

Աճի արագ տեմպը կարող է նկարագրվել, օրինակ, թղթերը միմյանց վրա դնելու խնդրի օրինակով։

Կոմպլեքս ֆունկցիա

Կոմպլեքս հարթության վրա էքսպոնենտայի ընդլայնման համար որոշենք այն նույն շարքի օգնությամբ, փոխարինելով իրական արգումենտը կոմպլեքսով՝

$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+...$

Այդ ֆունկցիան ունի նույն հիմնական հանրահաշվական և անալիտիկ հատկությունները, ինչ որ իրականը։$e^{ix}$շարքում առանձնացնելով իրական մասը կեղծից, մենք ստանում ենք հանրահայտ Էյլերի բանաձևը՝

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Այսպիսով, կոմպլեքս էքսպոնենտան պարբերական է կեղծ առանցքի շուրջ։ Ցուցչային ֆունկցիան կամայական կոմպլեքս հիմքով և աստիճանի ցուցչով հեշտ է հաշվել կոմպլեքս էքսպոնենտայի և կոմպլեքս լոգարիթմի օգնությամբ։

Օրինակ՝ $i^i=e^{i\ln (i)}$, քանի որ $\ln (i)=i\frac{\pi }{2}$(լոգարիթմի հիմնական արժեքը), վերջապես ստանում ենք՝

$i^i=e^{i\frac{i\pi }{2}}=e^{-\frac{\pi }{2}}$։

Տես նաև

• Աստիճանի բարձրացում
• Աստիճանային ֆունկցիա
• Էքսպոնենտային ֆունկցիա

Գրականություն

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.։ ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.