Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա, $-y=x^a$ տեսքի ֆունկցիա է, որտեղ $a$ (աստիճանի ցուցիչ) որոշակի իրական թիվ էԿաղապար:Sfn։

Հաճախ աստիճանային են համարվում նաև տեսքի $y=k{x}^a$ֆունկցիաները, որտեղ $k$-ն որոշակի մասշտաբային արտադրիչ է։ Գոյություն ունի նաև աստիճանային ֆունկցիայի կոմպլեքս ընդհանրացումը։ Պրակտիկայում աստիճանի ցուցիչը գրեթե միշտ հանդիսանում է ամբողջ կամ ռացիոնալ թիվ։

Իրական ֆունկցիա

Որոշման տիրույթը

Եթե ցուցչի աստիճանը ամբողջ թիվ է, ապա կարելի է դիտարկել աստիճանային ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա (բացառությամբ, հնարավոր է, զրո)։ Ընդհանուր դեպքում աստիճանային ֆունկցիան որոշված է $x>0$-ի դեպքում։ Եթե $a>0$,ապա ֆունկցիան որոշված է նաև $x=0$դեպքի համար, այլապես զրոն հանդիսանում է իր հատուկ կետը։

Ռացիոնալ աստիճանային ցուցիչ

• Աստիճանային ֆունկցիաները $n$ բնական ցուցչի դեպքում անվանում են $n$-րդ աստիճանի պարաբոլաներ։$a=1$ դեպքում ստացվում է ֆունկցիան, որը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախվածություն։
• $y=x^{-n}$ տեսքի ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ $n$-ը բնական թիվ է, անվանում են $n$-րդ աստիճանի հիպերբոլա։$a=-1$դեպքում ստացվում է $\frac{k}{x}$ ֆունկցիան, որը կոչվում է հակադարձ համեմատական կախվածություն։
• Եթե $a=\frac{1}{n}$, ապա ֆունկցիան հանդիսանում է $n$-րդ աստիճանի թվաբանական արմատ։

Օրինակ, Կեպլերի երրորդ օրենքից հետևում է, որ արևի շուրջ մոլորակի պտտման $T$ պարբերությունը կախված է իր ուղեծրի $A$ մեծ կիսաառանցքից հետևյալ հարաբերությամբ՝ $T=k{A}^{\frac{3}{2}}$(կիսախորանարդ պարաբոլա)։

• 
  n-րդ աստիճանի պարաբոլաներ։ Կաղապար:Լեգենդ Կաղապար:Լեգենդ Կաղապար:Լեգենդ Կաղապար:Լեգենդ Կաղապար:Լեգենդ Կաղապար:Լեգենդ
• 
  n-րդ աստիճանի հիպերբոլաներ։Կաղապար:Լեգենդ Կաղապար:Լեգենդ Կաղապար:Լեգենդ

Հատկություններ

• Ֆունկցիան անընդհատ և անսահմանափակ դիֆերենցելի է բոլոր կետերում, որոնց շրջակայքում նա որոշված է։ Զրոն, ընդհանրապես ասած, հանդիսանում է հատուկ կետ։ Օրինակ, $y=\sqrt{x}$ ֆունկցիան որոշված է զրոյում և նրա աջ շրջակայքում, բայց նրա ածանցյալը՝$y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , զրո կետում որոշված չէ։
• $(0;\mathrm{\infty })$ միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն աճում է $a>0$-ի դեպքում և մոնոտոն նվազում է $a<0$-ի դեպքում։ Ֆունկցիայի արժեքը այս միջակայքում դրական է։
• Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է. $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$
• Անորոշ ինտեգրալն է .

ա) եթե $a\ne -1$, ապա $\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$,

բ) եթե $a=-1$ ստանում ենք. $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$։

Կոմպլեքս ֆունկցիա

$z$ կոմպլեքս փոփոխականի աստիճանային ֆունկցիան, ընդհանրապես ասած, որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ $y=z^c=e^{c\cdot \ln (z)}:$Կաղապար:Sfn

Այստեղ $c$ աստիճանի ցուցիչը որոշակի կոմպլեքս թիվ է։ Ֆունկցիայի արժեքը, որը համապատասխանում է լոգարիթմի գլխավոր արժեքին, անվանում են աստիճանի գլխավոր արժեք։ Օրինակ,$i^i$-ի արժեքը հավասար է $e^{-(4k+1{)}^{\frac{\pi }{2}}}$ որտեղ $k$-ն կամայական ամբողջ է, իսկ նրա գլխավոր արժեքն է $e^{i\ln (i)}=e^{-\frac{\pi }{2}}$։

Ֆունկցիայի կոմպլեքս աստիճանը բավականին տարբերվում է իր իրական անալոգից։ Կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքության արդյունքում նա, ընդհանրապես ասած, նույնպես կարող է ընդունել անսահման շատ արժեքներ։ Սակայն երկու պրակտիկորեն կարևոր դեպքերը դիտարկվում են առանձին։

1. Բնական ցուցչի դեպքում ֆունկցիայի աստիճանը միարժեք է և $n$-շերտանի։
2. Եթե աստիճանի ցուցիչը դրական ռացիոնալ թիվ է, այսինքն $\frac{p}{q}$ տեսքի կոտորակ (անկրճատելի), $y$ ֆունկցիան կնդունի $q$ տարբեր արժեքներ։

Տես նաև

• Լոգարիթմ
• Բազմանդամ
• Աստիճանի բարձրացում

Արտաքին հղումներ

• Степенная функция.