Լամբերտի W ֆունկցիա

Լամբերտի $W$ ֆունկցիան բոլոր $w$ կոմպլեքս թվերի համար սահմանված $f(w)=w{e}^w$ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է։ Նշանակվում է հետևյալ երկու ձևերից մեկով․ $W(x)$ կամ $\mathrm{LambertW}(x)$։ Ցանկացած $z$ կոմպլեքս թվերի համար սահմանվում է ֆունկցիոնալ հավասարման միջոցով․

$z=W(z{e}^z)$

Լամբերտի $W$ ֆունկցիան չի կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այս ֆունկցիան կիրառվում է կոմբինատորիկայում, ինչպես օրինակ ծառերի քանակի հաշվման կամ հավասարումներ լուծելու ժամանակ։

Պատմություն

1779 թվականին ֆունկցիան ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից, սակայն տևական ժամանակ որևէ անվանում չի ստացել։ Հետագայում անվանվել է Յոհան Լամբերտի անունով։

Բազմիմաստություն

$W(x)$ ֆունցիայի $W_0$ (կապույտ) հիմնական և $W_{-1}$ (մանուշակագույն) լրացուցիչ ճյուղերը

W₀(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը −1/e ≤ x ≤ 4 միջակայքում

$f(w)$ ֆունկցիան $(-\mathrm{\infty },0)$ միջակայքում ինյեկտիվ չի համարվում փոխարենը $(-\frac{1}{e},0)$ միջակայքում համարվում է բազմարժեք ֆունկցիա։

• Եթե սահմանափակվենք $z=x⩾-1/e$ անհավասարությունով և օգտվենք $w⩾-1$ պայմանից, ապա կվորոշվի $W_0(x)$ միարժեք ֆունկցիան, որը $W(x)$ ֆունկցիայի հիմնական ճյուղն է:
• Եթե սահմանափակվենք $z=x⩾-1/e$ և $z=x<0$ անհավասարություններով և օգտվենք $w⩽-1$ պայմանից, ապա կորոշվի $W_{-1}(x)$ միարժեք ֆունկցիան, որը համարվում է $W(x)$ ֆունկցիայի լրացուցիչ ճյուղ։

Ասիմպտոտիկներ

Օգտակար է իմանալ ֆունկցիայի ասիմպտոտիկները մի քանի առանցքային կետերին ձգտելու ժամանակ․

${W(z)|}_{z\to \mathrm{\infty }}=\log (z)-\log (\log (z))$

${W(z)|}_{z\to -\frac{1}{e}}=\sqrt{2(ez+1)}-1$

Այլ բանաձևեր

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}W(2{\cot }^2(x)){\sec }^2(x)\mathrm{d}x=4\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}W\left(\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\sqrt{2\pi }$

Հատկություններ

Անբացահայտ ֆունկցիայի դիֆերենցման շնորհիվ ստանում ենք, որ $z\ne -\frac{1}{e}$ դեպքում Լամբերտի ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարմանը․

$\frac{dW}{dz}=\frac{1}{z}\frac{W(z)}{W(z)+1}.$

Շարքերի հակադարձման թեորեմի շնորհիվ կարելի է արտահայտություն ստանալ Թեյլորի շարքերի համար․

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots .$

Մասերով ինտեգրելու դեպքում կստանանք հետևյալը․

$\int W(x)dx=x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C.$

Որոշ կետերում ընդունած արժեքները

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{i\pi }{2}$

$W(-1)\approx -0.31813+1.33723i$

$W(-\frac{1}{e})=-1$

$W(-\frac{\ln a}{a})=-\ln a$, $\frac{1}{e}\le a\le e$

$W(0)=0$

$W(e)=1$

$W(1)=\mathrm{\Omega }\approx 0,56714329$ (հիմնական Օմեգա)

Բանաձևեր

$W(x{e}^x)=x,x>0$

$W_0(x{e}^x)=x,x⩾-1$

$W_{-1}(x{e}^x)=x,x⩽-1$

$e^{n\cdot W(x)}={\left(\frac{x}{W(x)}\right)}^n$

$\ln W(x)=\ln x-W(x),x>0$

$W\left(\frac{n{x}^n}{W(x{)}^{n-1}}\right)=nW(x),n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left(\frac{W(x)+W(y)}{W(x)W(y)}\right)\right),x>0,y>0$

Հավասարումների լուծումը W ֆունկցիայի միջոցով

Ոչ հանրահաշվական մի շարք հավասարումների լուծումները կարող են արտահայտվել $W$ ֆունկցիայի տեքով։

Օրինակ 1: $x\cdot a^x=b$

$x\ln a\cdot e^{x\ln a}=b\ln a$, հետևաբար, $x\ln a=W(b\ln a)$, որտեղից $x=\frac{W(b\ln a)}{\ln a}$.

Օրինակ 2: $x^x=a$

$x\cdot \ln x=\ln a$, հետևաբար, $\frac{\ln a}{x}=W(\ln a)$, որտեղից $x=\frac{\ln a}{W(\ln a)}$.

Օրինակ 3: $a^x=bx$

$\frac{1}{b}=x{a}^{-x}$, тогда $-\frac{\ln a}{b}=-x\ln a\cdot e^{-x\ln a}$, հետևաբար, $W(-\frac{\ln a}{b})=-x\ln a$, որտեղից $x=-\frac{1}{\ln a}W(-\frac{\ln a}{b})$.

Ստացումը

$W$ ֆունկցիան հնարավոր է մոտավորապես հաշվվել ռեկուրենտ հարաբերության շնորհիվ․

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j{e}^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_j{e}^{w_j}-z)}{2w_j+2}}$

Python լեզվով գրված ծրագրի օրինակ․

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in range(100):
        wTimesExpW = w * math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2))
        if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
            break
    if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
        raise Exception("W(x) ֆունկցիան չի զուգամիտում բավականին արագ x=%f դեպքում" % x)
    return w

Մոտավոր հաշվարկման համար նպատակահարմար է օգտագործել հետևյալ բանաձևը․

$W(x)\approx \{\begin{array}{ccc}0,665\cdot (1+0,0195\ln (x+1))\ln (x+1)+0,04& :& 0<x\le 500\\ \ln (x-4)-(1-\frac{1}{\ln x})\ln \ln x& :& x>500\end{array}$

Ստացված ֆունկցիան, չնայած որ նման է $W$ ֆունկցիային, սակայն տարբերվում է նրանից 10%-ով։