Նորմալ թիվ

Նորմալ թիվը ըստ Կաղապար:Math հիմքի ($n\in \mathbb{N},n⩾2$) ցանկացած իրական թիվ է, որի գրառման մեջ [[Դիրքային համարիների համակարգ|Կաղապար:Math-ական հաշվարկման համակարգ]]ում կամայական խմբի Կաղապար:Math հաջորդական թիվ հանդիպում է նույն ասիմպտոտ հաճախականությամբ, որը հավասար է Կաղապար:Math -ին յուրաքանչյուր Կաղապար:Math = 1, 2, …:

Թվերը, որոնք նորմալ են ցանկացած Կաղապար:Math հիմքով գրառման համար, կոչվում են նորմալ կամ բացարձակապես նորմալ։

Հիմնական հատկությունները և օրինակներ

Ցանկացած ռացիոնալ թվի գրառումը ցանկացած հիմքով նորմալ չէ։ Սա հետևում է այն փաստից, որ ռացիոնալ թվի գրառման մեջ գոյություն ունի միջակայք։ Օրինակ` 1/3 = 0,33333… չունի գրության մեջ տրված հաջորդականությունից առաջ թվեր և հետևաբար նորմալ չէ։ Այստեղից հետևում է,որ նորմալ թվեր կարող են հանդիսանալ միայն իռացիոնալ թվերը։

Քանի որ նորմալ թվերի գրության մեջ պարունակում է նախապես սահմանված թվերի հաջորդականություն, այստեղից հետևում է, որ սկսած որոշակի թվերի դիրքից ցանկացած նորմալ թվերի գրառման մեջ կոդավորված են բոլոր ստեղծված և դեռ չստեղծված գրական գործերը, նկարները, կինոնկարները և այլն:Օրինակ` տասնական $\pi$ թվերի գրառման մեջ 0123456789 հաջորդականությունը առաջին անգամ սկսվում է 17 387 594 880-րդ նշանից ստորակետից հետո:Մինչև հիմա անհայտ է (մինչև 2020 թվականը),հանդիսանում է արդյո՞ք $\pi$ թիվը նորմալ.

Պատմություն

Նորմալ թվի գաղափարը ներդրվել է Էմիլ Բորելի կողմից 1909 թվականին։ Օգտագործելով Բորել-Կանտելլի լեմմը, նա ապացուցեց, որ աննորմալ թվերի Լեբեգի չափումը հավասար է 0-ի. Այսպիսով, համարյա բոլոր իրական թվերը նորմալ են։ Մյուս կողմից, թվերը, որոնց տասնական գրությունում բացակայում է 0 թիվը, աննորմալ են։ Հետևաբար, աննորմալ թվերի շարքը անհաշվելի է։

Դ. Չամպերնոունը ապացուցեց, որ թիվը, որը հանդիսանում է կապակցվածություն տասնական համակարգում հաջորդական ամբողջ թվերի` 0,1234567891011121314151617…, նորմալ է 10 հիմքով։ Միևնույն ժամանակ, հայտնի չէ, թե արդյոք նորմալ է թիվը այլ հիմքերով։ 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)… երկուական համակարգում գրված թվերը նույնպես ապացուցված է, որ նորմալ է 2-ու հիմքով։

2002 թվականին Բեխերը և Ֆիգեյրան ապացուցեցին, որ գոյություն ունի հաշվելի լիարժեք նորմալ թվեր։

Բաց առաջադրանքներ

• Հանդիսանու՞մ են արդյոք [[Պի թիվ|Կաղապար:Math]] և [[e (թիվ)|Կաղապար:Math]] թվերը նորմալ։
• Մի կողմից, հայտնի չէ ՝ ճշմարտացի է որ ցանկացած իռացիոնալ հանրահաշվական թիվ նորմալ է, մյուս կողմից, հայտնի չէ հանրահաշվական թվի և ոչ մի օրինակ, որի մասին ապացուցված է, որ այն նորմալ չէ։

Տես նաև

• Ֆեյնմանի կետը
• Պի թիվ

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:MathWorld
• Կաղապար:MathWorld