Ոլորտային եռանկյունաչափություն

Ոլորտային եռանկյունաչափություն, գնդային եռանկյունաչափություն, սֆերիկ եռանկյունաչափություն, մաթեմատիկայի բաժին, որ ուսումնասիրում է ոլորտին պատկանող եռանկյունների՝ ոլորտային եռանկյունների կողմերի և անկյունների միջև եղած առնչությունները։

Ծագում

Ոլորտային եռանկյունաչափությունը, որ նախորդել է հարթ եռանկյունաչափությանը, իր ծագման և զարգացման համար պարտական է աստղագիտությանը և սկզբում աստղագիտության բաժիններից մեկն էր։ (1՛—3՛) բանաձևերը և դրանց միջոցով եռանկյունների լուծման տարբեր խնդիրներ հանդիպում են Մենելայոսի «Աֆերիկա» և Պտղոմեոսի «Ալմագեստ» աշխատություններում։ (2) բանաձևը հայտնի էր 6-րդ դարում, իսկ ապացուցումը տվել է Ալ-Բատտանին։ (1)-ը ապացուցել է Աբու ալ Վեֆը։ Ոլորտային եռանկյունաչափությունը որպես ինքնուրույն գիտություն սկզբնավորվել է Նասրեդդին Թուսիի և Ռեգեմոնտանուսի աշխատություններում։ Ոլորտային եռանկյունաչափության զարգացմանը մեծապես նպաստել են Լ․ Էյլերի աշխատանքները։

Ոլորտային եռանկյունաչափության բանաձևեր

Եթե $\hat{A}$-ն, $\hat{B}$-ն, $\hat{C}$-ն գնդային եռանկյան $A,B,C$ անկյունների մեծություններն են, $a$-ն, $b$-ն, $c$-ն՝ համապատասխանաբար $A$-ի, $B$-ի, $C$-ի դիմաց ընկած կողմերի երկարությունները ($\hat{A},\hat{B},\hat{C},a,b,c$ թվերը անվանում են գնդային եռանկյան տարրեր․ $\hat{A}=aR,\hat{B}=bR,\hat{C}=cR$, որտեղ $R$-ը ոլորտի շառավիղն է), ապա այդ անկյունները և կողմերը կապված են ոլորտային եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերով.

$\frac{sina}{sin\hat{A}}=\frac{sinb}{sin\hat{B}}=\frac{sinc}{sin\hat{C}}=\frac{D}{\mathrm{\Delta }}(1)$

$cosa=cosbcosc+sinbsinccos\hat{A}(2)$

$cos\hat{A}=-cos\hat{B}cos\hat{C}+sin\hat{B}sin\hat{C}cosa(3)$

$sinacos\hat{B}=cosbsinc+sinbcosccosA(4)$

$sin\hat{A}cosb=cos\hat{B}sin\hat{C}+sin\hat{B}cos\hat{C}cosA(5)$

որտեղ

$D^2=1-co{s}^{2}a-co{s}^b-co{s}^{2}c+2cosacosbcosc$

${\mathrm{\Delta }}^2=1-co{s}^2\hat{A}-co{s}^2\hat{B}-co{s}^2\hat{C}+2cos\hat{A}cos\hat{B}cos\hat{C}$:

(1—5) բանաձևերում կատարելով անկյունների և կողմերի շրջանային փոխարինում՝ $\hat{A}$-ն $\hat{B}$-ով, $\hat{B}$-ն $\hat{C}$-ով, $\hat{C}$-ն $\hat{A}$-ով, $a$-ն $b$-ով, $b$-ն $c$-ով, $c$-ն $a$-ով $(\hat{A}\to \hat{B}\to \hat{C}\to \hat{A},a\to b\to c\to a)$, կստանանք շատ այլ առնչություններ։ (1—5), ինչպես նաև դրանց հանգույն բանաձևերը հնարավորություն են տալիս գնդային եռանկյան տրված երեք տարրերի միջոցով գտնել մյուս երեք տարրերը։

Եթե գնդային եռանկյունը ուղղանկյուն է (ասենք՝ $C=90^{\circ }$), ապա տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը․

$sinb=sincsinB,(1^{\prime })$

$cosc=cosbcosa,(2^{\prime })$

$sinccos\hat{B}=cosbcosa:(3^{\prime })$

Նմանություն կա ոլորտային եռանկյունաչափության և հարթ եռանկյունաչափության բանաձևերի միջև.

Հարթ եռանկյուն $(\hat{C}=90^{\circ })$

$a=csin\hat{A}$

$a=btg\hat{A}$

$sin\frac{\hat{A}}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$

Գնդային եռանկյուն $(\hat{C}=90^{\circ })$

$sina=sincsin\hat{A}$

$tga=tgbtg\hat{A}$

$sin\frac{\hat{A}}{2}=\sqrt{\frac{sin(p-b)sin(p-c)}{sinbsinc}}$

Դելամբրի բանաձևեր

$sin\frac{a}{2}cos\frac{\hat{B}-\hat{C}}{2}=sin\frac{\hat{A}}{2}sin\frac{b+c}{2}$,

$sin\frac{a}{2}sin\frac{B-\hat{C}}{2}=cos\frac{\hat{A}}{2}sin\frac{b-c}{2}$,

$cos\frac{a}{2}cos\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}=sin\frac{\hat{A}}{2}cos\frac{b+c}{2}$,

$cos\frac{a}{2}sin\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}=cos\frac{\hat{A}}{2}cos\frac{b-c}{2}$