Չորս քառակուսիների նույնություն

Էյլերի նույնությունը չորս քառակուսիների մասին, մաթեմատիկական թեորեմ այն մասին, որ.

Չորս քառակուսիների գումարի արտադրյալը համարվում է չորս քառակուսիների գումար։

Իրոք,

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)*(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)$

$=(a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_4-a_4{b}_3{)}^2$

$+(a_1{b}_3-a_2{b}_4+a_3{b}_1+a_4{b}_2{)}^2+(a_1{b}_4+a_2{b}_3-a_3{b}_2+a_4{b}_1{)}^2$

Նույնությունն իրականացվում է ցանկացած կոմուտատիվ օղակի էլեմենտների համար, բայց եթե a_i և b_i իրական թվեր են, ապա նույնությունը կարող է վերաձևակերպվել կվատերնիոնների տերմիններով. երկու կվատերնիոնների արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

|ab|= |a||b| ։

Անալոգ նույնություններ

• «Մեկ քառակուսու նույնություն»

$a^2\cdot b^2=(ab{)}^2$

նշանակում է, որ երկու իրական թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

$|ab|=|a||b|$,

• «Երկու քառակուսիների նույնություն» (Բրահմագուպտայի նույնություն)

$(a_1^2+a_2^2)\cdot (b_1^2+b_2^2)=(a_1{b}_1-a_2{b}_2{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1{)}^2$

նշանակում է, որ երկու կոմպլեքս թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

$|ab|=|a||b|$,

• «Ութ քառակուսիների նույնություն» նշանակում է, որ երկու օկտոնիոնների արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.
• ։ $|ab|=|a||b|$.

Այս բոլոր դեպքերում ստացված ֆունկցիաները (որի քառակուսիների գումարը հավասար է ելակետային գումարների քառակուսիների արտադրյալին) ելակետային փոփոխականների երկգծային ֆունկցիաներ են։ Սակայն համանմանորեն «տասնվեց քառակուսիների նույնություն» գոյություն չունի։ Փոխարենը կա նման, (ցանկացած բնական N -ի դեպքում 2^N քառակուսիների համար) էականորեն այլ ֆունկցիա՝ ելակետային փոփոխականների միայն ռացիոնալ ֆունկցիաների համար (ըստ Ա. Կ. Պֆիստերի թեորեմի.)

Պատմություն

Նույնությունը դուրս է բերել Լեոնարդ Էյլերը 1750 թվականին։ Դա իրականացվել է քվատերնիոնների երևան գալուց մոտ 100 տարի առաջ։

Էյլերի նույնությունն օգտագործել է Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը իր չորս քառակուսիների գումարի մասին թեորեմի ապացուցման մեջ։

Տես նաև

• Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ