Պատահական պրոցես

Գնդի մակերևույթի վրա Վիներյան կամ Բրոունյան շարժման պրոցեսի համակարգչային իրացում։ Վիներյան պրոցեսը համարվում է հավանականությունների տեսությունում ամենաուսումնասիրված և հիմնարար պատահական պրոցեսը։

Հավանականությունների տեսությունում և առնչվող բնագավառներում պատահական, հավանականային կամ ստոխաստիկ պրոցեսը մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը սովորաբար սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների ընտանիք։ Պատմականորեն պատահական մեծությունները կապվել կամ ինդեքսավորվել են թվերի բազմությամբ և սովորաբար դիտարկվել են որպես ժամանակի կետեր՝ պատահական պրոցեսները մեկնաբանելով որպես ժամանակի ընթացքում ինչ-որ համակարգի պատահական փոփոխությունների թվային արժեքները ներկայացնեող մեծություններ (օրինակ՝ բակտերիաներ բնակչության աճ, ջերմային աղմուկի պատճառով էլեկտրական հոսանքի փոփոխություն կամ գազի մոլեկուլների շարժ)։ Պատահական պրոցեսները լայնորեն կիրառվում են թվացիալ պատահական փոփոխվող համակարգերի կամ երևույթների մաթեմատիկական մոդելավորման համար։ Ունեն կիրառություններ բազմաթիվ բնագավառներում, ինչպես օրինակ՝ կենսաբանություն, Քիմիա, էկոլոգիա, նյարդագիտություն, ֆիզիկա, պատկերի թվային մշակում, ազդանշանի մշակում, ինֆորմացիայի տեսություն, ինֆորմատիկա, գաղտնագրություն և հեռահաղորդակցություն։ Բացի դա, ֆինանսական շուկայում թվացիալ պատահական փոփոխությունները հիմք են հանդիսացել ֆինանսներում պատահական պրոցեսների լայնորեն կիրառման համար։

Կիրառությունները և երևույթների ուսումնասիրությունները դրդել են նոր պատահական պրոցեսների առաջարկների։ Նման պատահական պրոցեսների օրինակ է Վիներյան պրոցեսը կամ Բրաունյան շարժման պրոցեսըԿաղապար:Efn, որն օգտագործվել է Լուի Բաշելերը Փարիզի ֆոնդային բորսաում գնի փոփոխությունը ուսումնասիրելու համար և Պուասոնի պրոցեսը, որն օգտագործել է Ա․ Կ․ Էրլանգը՝ որոշակի ժամանակահատվածում հեռախոսազանգերի քանակն ուսումնասիրելու համար։ Այս պատահական պրոցեսները համարվում են պատահական պրոցեսների տեսության ամենակարևոր և հիմնական պրոցեսները և մի քանի անգամ իրարից անկախ հայտնաբերվել են ինչպես նախքան Բաշելերը կամ Էրլանգը, այնպես էլ նրանցից հետո։

Պատահական պրոցեսները նաև կոչվում են պատահական ֆունկցիա, քանի որ պատահական պրոցեսը կարելի է մեկնաբանել որպես ֆունկցիաների տարածությունում պատահական տարրեր։ Պատահական պրոցես կամ ստոխաստիկ պրոցես եզրերը փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց մաթեմատիկական տարածություն նշելու (պատահական մեծությունն ինդեքսավորող բազմության համար)։ Բայց այս եզրերը հաճախ օգտագործվում են, երբ պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են ամբողջ թվերով կամ միջակայքերով։ Եթե պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են Դեկարտյան հարթությամբ կամ այլ Էվկլիդյան տարածությամբ, ապա պատահական մեծությունների հավաքածում հաճախ կոչվում է պատահական դաշտ։ Պատահական պրոցեսների արժեքները ոչ միշտ են թվեր․ դրանք կարող են լինել վեկտորներ կամ այլ մաթեմատիկական օբյեկտներ։

Կախված իրենց մաթեմատիկական հատկություններից պատահական պրոցեսները կարող են խմբավորվել տարբեր կատեգորիաներում, որոնցից են պատահական քայլ, մարտինգալներ, Մարկովի շղթաներ, Լևիի պրոցեսներ, Գաուսյան պրոցեսներ, պատահական դաշտեր, վերսկսվող պրոցեսներ և ճյուղավորման պրոցեսներ։ Պատահական պրոցեսներն ուսումնասիրելու համար օգտագործվում է հավանականությունների տեսությունից, մաթեմատիկական անալիզից (այդ թվում՝ իրական անալիզ, չափերի տեսություն, ֆուրեի անալիզ և ֆունկցիոնալ անալիզ), գծային հանրահաշվից, բազմությունների տեսությունից և տոպոլոգիայից մաթեմատիկական գիտելիքներ և մեթոդներ։ Պատահական պրոցեսների տեսությունը համարվում է կարևոր ներդրում մաթեմատիկայում և շարունակում է մնալ ակտիվ հետազոտությունների առարկա՝ ինչպես կիրառության, այնպես էլ տեսական հետաքրքրության պատճառով։

Ներածություն

Ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսը կարելի է սահմանել որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որը ինդեքսավորված է որոշակի մաթեմատիկական բազմությամբ, այսինքն՝ պատահական պրոցեսի յուրաքանչյուր պատահական մեծությունը միակորեն կապված է բազմության որևէ տարրի հետ։ Այս բազմությունը կոչվում է ինդեքսավորման բազմություն։ Պատմականորեն ինդեքսավորման բազմությունը եղել է իրական թվերի որևէ ենթաբազմություն, ինչպես օրինակ բնական թվերը՝ ինդեքսավորման բազմությանը ժամանակի մեկնաբանություն տալով։ Հավաքածու յուրաքանչյուր պատահական մեծություն արժեքներ է ընդունում նույն տարածությունից, որը հայտնի է վիճակի տարածություն անվամբ։ Այս տարածությունը կարող են լինել ամբողջ թվերը, իրական թվերը կամ $n$ չափանի Էվկլիդյան տարածություն։ Աճը այն չափն է, որով պատահական պորցեսը փոխվում է ինդեքսների արժեքների միջև (հաճախ մեկնաբանվում է որպես ժամանակի երկու կետ)։ Պատահական պրոցեսը կարող են բազմաթիվ արդյունքներ ունենալ՝ իր պատահական լինելու պատճառով, իսկ պատահական պրոցեսի որևէ արդյունքը կոչում են իրացում

A single computer-simulated sample function or realization, among other terms, of a three-dimensional Wiener or Brownian motion process for time 0 ≤ t ≤ 2. The index set of this stochastic process is the non-negative numbers, while its state space is three-dimensional Euclidean space.

Դասակարգում

Պատահական պրոցեսները կարելի է դասակարգել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ իր վիճակի տարածությամբ, իր ինդեքսավորման բազմությամբ կամ պատահաման մեծության հետ կապով։ Դասակարգման ընդունված տարբերակ է ինդեքսավորման բազմության և վիճակի տարածության հազորությամբ ինդեքսավորումը։

Եթե երըպատահական պրոցեսի ինդեքսավորման բազմությունը ունի վերջավոր քանակությամբ կամ հաշվելի անդամներ, ինչպես օրիկնակ թվերի որևէ վերջավոր բազմություն, ամբողջ կամ բնական թվերի բազմությունը, և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում դիսկրետ ժամանակում։ Նմանապես, եթե ինդեքսավորման բազմությունը իրական առանցքի որևէ միջակայք է և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում անընդհատ ժամանակում։ Այս երկու տեսակի տեսակի պատահական պրոցեսները համապատասխանաբար կոչվում են դիսկրետ և անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսներ։ Համարվում է, որ դիսկրետ պարամետրով պատահական պրոցեսները ավելի հեշտ է ուսումնասիրել, քանի որ անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսները պահանջում են ավելի բարդ մաթեմատիկական գիտելիքներ, հիմնականում անհաշվելի ինդեքսավորման բազմության պատճառով։ Եթե ինդեքսավորման բազմությունը ամբողջ թվերի բազմությունն է կամ դրա ինչ-որ ենթաբազմություն, ապա պատահական պրոցեսը նաև կոչում են պատահական հաջորդականություն։

Եթե վիճակի տարածությունը ամբողջ կամ բնական թվերն են, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է դիսկրետ կամ ամբողջարժեքանի պատահական պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը իրական առանցքն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է իրական անընդհատ վիճակի տարածությամբ պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը $n$ չափանի Էվկլիդյան տարածությունն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է $n$ չափանի վեկտորական պրոցես։

Տերմինաբանություն

Պատահական պրոցեսի սահմանումները տարբերվում են, բայց ավանդաբար պատահական պրոցեսը սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որոնք ինդեքսավորված են որևէ բազմությամբՊատահական պրոցես և ստոխաստիկ պրոցես եզրերը համարվում են հոմանիշ և փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց ինդեքսավորման բազմությունը շեշտելու։ Կիրառվում են և՛ «հավաքածու», և՛ «ընտանիք» եզրերը, իսկ «ինդեքսավորման բազմության» փոխարեն հաճախ կիրառվում է «պատամետրերի բազմություն» կամ «պարամետրերի տարածություն» եզրերը։

Պատահական ֆունկցիա եզրը նույնպես օգտագործվում է ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսի փոխարեն , չնայած այս անվանումը օգտագործվում է միայն այն դեպքում, երբ պատահական պրոցեսը ընդունում է իրական արժեքներ։ Այս եզրը նաև օգտագործվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը իրական թվերի տարբեր այլ մաթեմատիկական տարածություն է , մինչդեռ ստոխաստիկ պրոցես կամ պատահական պրոցես եզրերը սովորաբար կիրառվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը մեկնաբանվում է որպես ժամանակ։ Երբ ինդեքսավորման բազմությունը $n$ չափանի Էվկլիդյան տարածություն է կամ որևէ բազմաձևություն, սովորաբար կիրառվում է պատահական դաշտ եզրը։

Նշանակում

Պատահական պրոցեսները նշանակվում են $\{X(t){\}}_{t\in T}$, $\{X_t{\}}_{t\in T}$, $\{X_t\}$, $\{X(t)\}$ կամ պարզապես $X$ կամ $X(t)$ ձևով, չնայած $X(t)$ նշանակումը համարվում է ֆունկցիայի նշանակման չարաշահում։ Օրինակ՝ $X(t)$-ով կամ $X_t$-ով նշանակում են $t$ ինդեքսով պատահական մեծությունը, ոչ թե ամբողջ պատահական պրոցեսը։ Եթե $T=[0,\mathrm{\infty })$ ինդեքսավորման բազմություն էմ, ապա պատահական պրոցեսը կարելի է նշանակել $(X_t,t\ge 0)$ ձևով։

Օրինակներ

Բեռնուլիի պրոցես

Ամենապարզ պատահական պրոցեսներից մեկը Բեռնուլիի պրոցեսն է, որը անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների հաջորդականություն է, որոնցից յուրաքանչյուրը ընդունում է մեկ կամ զրո արժեքը, համապատասխանաբար $p$ և $1-p$ հավանականությամբ։ Այս պրոցեսով կարելի է մոդելավորել մետաղադրամի պարբերաբար նետումը, որտեղ գիր ունենալու հավանականությունը $p$ իսկ գերբ ունենալու հավաբականությունը՝ $1-p$: Այլ կերպ ասած՝ Բեռնուլիի պրոցեսը անկախ և նույնական բաշխմամաբ Բեռնուլիի պատահական մեծությունների հաջորդականություն է, որտեղ մետաղադրամի յուրաքանչյուր նետումը Բեռնուլիի փորձի օրինակ է։

Պատահական քայլ

Պատահական քայլերը պատահական պորցեսներ են, որոնք սովորաբար սահմանվում են որպես իր անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների կամ Էվկլիդյան տարածությունում պատահական վեկտորների գումար, այսինքն՝ այս պրոցեսները փոխվում են ժամանակում։ Սակայն, որոշ հեղինակներ եզրը կիրառում են անընդհատ ժամանակում փոխվող պրոցեսների համար, մասնավորապես՝ ֆինանսներում գործածվող Վիներյան պրոցեսը, ինչը որոշ շփոթության և քննադատության առիթ է տվել։ Գոյություն ունեն պատահական քայլերի այլ տարբերակներ՝ սահմանված այլ մաթեմատիկական օբյեկտների վիճակի տարածության վրա, ինչպես օրինակ՝ խմբերը կամ կավարներ, և ընդհանուր առմամաբ պատահական քայլերը լայնորեն ուսումնասիրվել և կիրառվում են տարբեր բնագավառներում։

Պատահական քայլի դասական օրինակներից մեկը կոչվում է պարզ պատահական քայլ, որը դիսկրետ ժամանակում փոփոխվող պատահական պորցես է՝ սահմանված ամբողջ թվերի վիճակի տարածության վրա, և հիմնված է Բեռնուլիի պրոցեսի վրա, որտեղ կամայական Բեռնուլիի մեծություն ընդունում է դրական կամ բացասական մեկ արժեքը։ Այլ կարպ ասած՝ պարզ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում ամբողջ թվերում և դրա արժեքը աճում է մեկով $p$ հավանականությամբ կամ նվազում $1-p$ հավանականությամբ, հետևաբար՝ այս պատահական քայլի ինդեքսավորման բազմությունը բնական թվերն են, իսկ վիճակի տարածությունը՝ ամբողջ թվերը։ Եթե $p=0.5$, ապա այս պատահական քայլը կոչվում է համաչափ պատահական քայլ։