Պի (տառ)

Կաղապար:Անաղբյուր Կաղապար:Տես նաև Կաղապար:Հունական այբուբեն2 Կաղապար:Նշան Պին (հունարեն` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի П տառը։

Համագրություններ

• Հայկական` Պ
• Կիրիլիցայի` П
• Լատինական` P
• Թամիլական` ப்
• Վրացական` პ
• Եբրայական` פּ

Նշանակումները

Մեծ Π տառով՝

• Մաթեմատիկայում $\prod$-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես $\sum$-ով՝ գումարը։

Փոքրատառ π-ով՝

• Մաթեմատիկական π ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։
• $\pi (x)$ ֆունկցիան $x$-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
• պի-մեզոն տարրական մասնիկը

π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան

Հարաբերություններ

Հայտնի են $\pi$ թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝

• Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot \dots$

pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ $\sin (2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$, որի արդյունքում ստացվում է՝

$\varphi \cdot \cos \frac{\varphi }{2}\cdot \cos \frac{\varphi }{4}\cdots =\sin \varphi$

մնում է ավելացնել $\varphi =\frac{\pi }{2}$ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝

• Վալիսի բանաձև։

$\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}$

• Լայբնիցի շարք՝

$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

• այլ շարքեր՝

$\begin{array}{cc}\pi & =\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}(\frac{8}{8k+2}+\frac{4}{8k+3}+\frac{4}{8k+4}-\frac{1}{8k+7})\\ & =\frac{1}{4}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}(\frac{8}{8k+1}+\frac{8}{8k+2}+\frac{4}{8k+3}-\frac{2}{8k+5}-\frac{2}{8k+6}-\frac{1}{8k+7})\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{4^k}(\frac{2}{4k+1}+\frac{2}{4k+2}+\frac{1}{4k+3})\end{array}$

$\pi =2\sqrt{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{3^k(2k+1)}$

• բազմակի շարքեր՝

$\pi =8\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(4m-2{)}^{2k}}=4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2{)}^2}=\sqrt[4]{360\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^k\frac{1}{m(k+1{)}^3}}$

• Սահմաններ՝

$\pi =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to \mathrm{\infty }}\frac{(m!{)}^4{2}^{4m}}{{[(2m)!]}^{2}m}$

$\pi =\sqrt{\frac{6}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=1}{p_k\in 𝐏}}^n(1-\frac{1}{p_k^2})}}\to$ здесь $p_k$ — простые числа

$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}}$, որտեղ $n$ հավասար է արտահայտության արմատին։

• Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)՝

$e^{i\pi }+1=0$

• Հաստատուն մեծությունների այլ կապերի՝

$\frac{\pi }{e}=2\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2k+1}{2k-1}\right)}^{2k-1}{\left(\frac{k}{k+1}\right)}^{2k}$

$\pi \cdot e=6\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2k+3}{2k+1}\right)}^{2k+1}{\left(\frac{k}{k+1}\right)}^{2k}$

• Պուասոնի ինտեգրալ կամ Գաուսի ինտեգրալ՝

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{Br(x)}{e^{B{r}^4(x)}}dx=\sqrt{\pi },$, որտեղ $Br(x)$ — Բրինգի արմատն է։

• Ինտեգրալային սինուս`

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\pi$

• Արտահայտություն երկխոսության միջոցով`

$\pi =\sqrt{6{\ln }^{2}2+12{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)}$

• անկախ ինտեգրալով՝

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}=\pi$

Տես նաև

• Հունարենի այբուբեն