Սկալյար պոտենցիալ

Աճող զանգվածի գրավիտացիոն պոտենցիալ փոսը, որտեղ $𝐀=-\mathrm{\nabla }\varphi$

Սկալյար պոտենցիալ, վեկտորական դաշտի պոտենցիալ, $𝐀$ վեկտորական դաշտի $\varphi$ սկալյար ֆունկցիան, որը դաշտի որոշման տիրույթի բոլոր կետերում տրվում է

$𝐀=-\mathrm{\nabla }\varphi$

հավասարությամբ, որտեղ ∇φ-ն φ-ի գրադիենտն է։

x,y,z կարտեզյան կոորդինատների դեպքում այս հավասարման երկրորդ մասը կարելի է գրել որպես

$𝐀=-\mathrm{\nabla }\varphi =-(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z})$։

Ֆիզիկայում սովորաբար պոտենցիալը նշանով հակառակ մեծություն է (ուժի պոտենցիալ, էլեկտրական դաշտի պոտենցիալ)։

Պոտենցիալ դաշտ

Համասեռ սկավառակի գրավիտացիոն պոտենցիալի գրաֆիկը

Դաշտը կոչվում է պոտենցիալ, եթե նրա համար գոյություն ունի սկալյար պոտենցիալ։ Պոտենցիալ դաշտի համար

$\varphi (𝐫)=\underset{C}{\int }𝐀(𝐫)\cdot d𝐫=\underset{a}{\overset{b}{\int }}𝐀(𝐫(t))\cdot \dot{𝐫}(t)dt$

կորագիծ ինտեգրալը երկու կետերի միջև կախված չէ այդ կետերը միացնող

$C=\{𝐫(t)|t\in [a,b]\}$ ինտեգրման ճանապարհից։ Դա համարժեք է նրան, որ ինտեգրալը $C$ փակ կոնտուրով հավասար է զրոյի՝

$\underset{C}{\int }𝐀(𝐫)\cdot 𝐝𝐫=0$։

Եռաչափ տարածության միակապ բազմության մեջ վեկտորական դաշտը պոտենցիալ է միայն և միայն անյ դեպքում, եթե մրրկային չէ.

$𝐀=\mathrm{grad}\varphi \iff \mathrm{rot}𝐀=0$։

Կամայական վերջավոր չափանի տարածության համար այս թեորեմի ընդհանրացումը Պուանկարեի լեեման է։ Այդպիսի տարածությունների համար գոյություն ունի իզոմորֆություն $𝐀$ վեկտորական դաշտի և ${\omega }_{𝐀}$ 1-ձևի միջև, ընդ որում պոտենցիալի գոյության հարցը բերվում է արտաքին դիֆերենցմանը դիմելու հարցին։ Պուանկարեի լեեման պնդում է, որ վերջավոր չափանի տարածության միակապ բազմության մեջ ցանկացած փակ ձև ճշգրիտ է։

Ոչ միակապ տարածության ընդհանուր դեպքում փակ լինելու պայմանը բավարար չէ։ Հեշտ է ստուգել, որ դաշտը

$𝐀=(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})$

հարթության մեջ մրրկային չէ $(0,0)$ կետը չպարունակող ցանկացած միակապ տիրույթում, սակայն

$\underset{C}{\int }𝐀(𝐫)\cdot 𝐝𝐫=2\pi$

ցանկացած $C$ կոնտուրի համար, որը մեկ անգամ ժամսլաքին հակառակ շրջանցում է կոորդինատների սկզբնակետը։

Նյուտոնյան պոտենցիալ

Եռաչափ տարածության մեջ ցանկացած վեկտորական դաշտից կարելի է անջատել նրա պոտենցիալ բաղադրիչը։ Դրան համապատասխան պոտենցիալը կարելի է գրել բացահայտ տեսքով, չկատարելով դաշտի վերլուծում։ Այն որոշվում է նյուտոնյան պոտենցիալ կոչվող ինտեգրալով.

$\varphi ({𝐫}_0)=\frac{1}{4\pi }\underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{\mathrm{div}𝐀}{|𝐫-{𝐫}_0|}dV$։

Ընդ որում դաշտի դիվերգենցիան պետք է անվերջությունում ավելի արագ նվազի, քան $\frac{1}{r^2}$-ը։ Ոչ մրրկային դաշտի համար այս ինտեգրալը տալիս է դաշտի սկալյար պոտենցիալը։

$\mathrm{div}𝐀$ դիվերգենցիան կարելի է նույնականացնել $\rho (𝐫)$ լիցքի խտության հետ։ Մասնավորապես

$𝐀=-\frac{𝐫}{r^3}$

դաշտի համար ստանում ենք կետային զանգվածով, կոորդինատների սկզբնակետում տեղադրված նյուտոնյան գրավիտացիոն պոտենցիալի սովորական բանաձևը՝

$\varphi ({𝐫}_0)=\underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{\delta (𝐫)}{|𝐫-{𝐫}_0|}dV=\frac{1}{r}$,

որտեղ $\delta (𝐫)$-ն Դիրակի եռաչափ դելտա ֆունկցիան է։

Տես նաև

• Վեկտորական պոտենցիալ