Ֆերմայի թիվ

Կաղապար:Անաղբյուր Ֆերմայի թվերը այս՝ $F_n=2^{2^n}+1$ տեսքի թվերն են, որտեղ $n$-ը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է։ Ֆերմայի թվերի հաջորդականությունը սկսվում է այսպես.

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, …

Պատմություն

Այս տեսքի թվերի ուսումնասիրությունը սկսել է Ֆերման, և ըստ նրա առաջ քաշած հիպոթեզի դրանք բոլորը պարզ են։ Սակայն դա հերքել է Էյլերը 1732 թվին, վերլուծելով $F_5$-ը պարզ արտադրիչների՝

$F_5=4294967297=641\cdot 6700417$

Հատկություններ

• Հավասարակողմ n-անկյունը կարելի է կառուցել կարկինի և քանոնի միջոցով, այն և միայն այն դեպքում, եթե $n=2^r\cdot p_1\cdot p_2\cdots p_k$, որտեղ $p_i$ տարբեր պարզ թվեր են։ (Գաուս-Վանցելի թեորեմ)
• $2^n+1$ թվերի շարքում պարզ կարող են լինել միայն Ֆերմայի թվերը (այսինքն n-ը պիտի լինի 2-ի աստիճան)։ Իսկապես, եթե $n$-ն ունի ոչ զույգ արտադրիչ $m>1$, ապա ըստ Բեզուի թեորեմի.

  $2^n+1=(2^m+1)(1-2^m+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),$

և այդ պատճառով $2^n+1$-ն չեն հանդիսանում պարզ։

• Ֆերմայի թվերի պարզությունը կարելի է էֆֆեկտիվորեն պարզել Պեպինի թեստի միջոցով։
• Այս պահի դրությամբ հայտնի է միայն 5 Ֆերմայի պարզ թիվ. 3, 5, 17, 257 և 65537։
• Հայտնի է, որ $F_n$ հանդիսանում են բաղադրյալ, եթե $5\le n\le 32$։

Պարզ արտադրիչների վերլուծություն

$F_0=2^{2^0}+1=2^1+1=3$

$F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5$

$F_2=2^{2^2}+1=2^4+1=17$

$F_3=2^{2^3}+1=2^8+1=257$

$F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1=65537$

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417$

$F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262^{\prime }814^{\prime }145^{\prime }745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721$

$\begin{array}{ccc}{F}_7=2^{2^7}+1=2^{128}+1& =& 340282366920938463463374607431768211457=\\ & =& (116503103764643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11141971095088142685\cdot 2^{7+2}+1)=\\ & =& 59649589127497217\cdot 5704689200685129054721\end{array}$

$\begin{array}{ccc}{F}_8=2^{2^8}+1=2^{256}+1& =& 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\ & =& (3853149761\cdot 157\cdot 2^{8+3}+1)\cdot \\ & & <(1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1)=\\ & =& 1238926361552897\cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321\end{array}$

Արտաքին հղումներ

• Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: սկիզբ Կաղապար:Webarchive, շարունակություն Կաղապար:Webarchive, ավարտ Կաղապար:Webarchive». №№ 393-395, 2001. (այլընտրանքային հղում)