Բաժանում (մաթեմատիկա)

20/4=5

Բաժանում (բաժանման գործողություն), բազմապատկմանը հակադարձ գործողություն։ Բաժանման պայմանական նշանն է զույգ կետերը «։», թեք «$/$» կամ հորիզոնական «—» գիծը։

Այնպես, ինչպես արտադրյալը փոխարինում է միանման գումարելիների կրկնվող գումարին, բաժանումը փոխարինում է կրկնվող տարբերությանը։

Դիտարկենք, օրինակ 14 -ի բաժանումը 3-ի (14/3):

Քանի՞ 3 է տեղավորվում 14-ում։

Կրկնելով հանման գործողությունը 4 անգամ կտեսնենք, որ մնացորդ է մնում 2, այսինքն 14-ի մեձ 4 հատ 3 կա և 2 մնացորդ։

Այդ դեպքում 14-ը կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար, 4-ը թերի քանորդ, իսկ 2-ը մնացորդ։

Բաժանմակ արդյունքը կոչվում է նաև հարաբերություն։

Գրառման ձևեր և տերմինաբանություն

Բաժանումը կատարվում է բաժանման նշաններից մեկի օգտագործմամբ «$/,:,-$» ։ Բաժանման նշանը չունի հատուկ անուն, օրինակ գումարման նշանը անվանում ենք «պլյուս»։

• Ակնհայտ է, որ ամենահին օգտագործվող նշանը թեք գիծն է(/)։ Առաջինը այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկ Վիլյամ Օտրեդը իր «Clavis Mathematicae» աշխատության մեջ (1631 թվական).
• Գերմանացի մաթեմատիկոս Լեյբնիցը նախընտրում Էր բաժանման (:) երկու կետով նշանը։ Այդ նշանը նա օգտագործել է իր Acta eruditorum աշխատության մեջ (1684 թվական)։ Մինչև Լեյբնիցը այդ նշանն օգտագործել է Ջոնսոնը (1633 թվական)։
• Յոհան Ռանըօգտագործեց օբելիուս (÷) նշանը իր «Teutsche Algebra» աշխատության մեջ (1659 թվական),որը անվանում են նաև «անգլիական բաժանման նշան»։

Շատ երկրներում հիմնականում օգտագործվում է (:) նշանը։ Թեք գիծը (/) օգտագործվում է հիմնականում համակարգչային տեքստերում։

Օրինակ․

$a:b=c$ ․

$6:3=2$(«վեցը բաժանած երեքի հավասար է երկու») ․

$65:5=13$(«վաթսունհինգը բաժանած հինգի հավասար է տասներեքի») .

Հատկություններ

$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ թվային բազմությունների վրա բաժանումը ունի հետևյալ հատկությունները։

• Արգումենտների տեղափոխությունից արդյունքը փոխվում է․

$a:b\ne b:a;$

• Երեք և ավելի թվերի հերթական բաժանման արժեքը կախված է գործողության հերթականությունից։

$(a:b):c\ne a:(b:c);$

• Բաժանումը աջից դիստրեբուտիվ է, ինչը կոչվում է նաև բաշխական օրենք

$(a+b):x=(a:x)+(b:x),x\ne 0;$

• $x:1=x;$
• $1:x=\frac{1}{x}=x^{-1},x\ne 0;$

• $0:x=0,\mathrm{\exists }0\in A,x\ne 0;$

• $x:0=\mathrm{\infty },\mathrm{\exists }0\in A,x\ne 0;$

• $x:(-x)=-1,\mathrm{\exists }!-x\in A,x\ne 0.$

Թվերի բաժանում

Բնական թվերի

Օգտագործում ենք բնական $\mathbb{N}$ թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք $C,A,B,R$ դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները$[C],[A],[B],[R]$։

Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․

1. $[C]=[A]:[B]=[\to (A/B)]\mathrm{\&}[R]$ -բաժանում հավասար մասերի․
2. $[C]=[A]:[B]=[A/(\to B)]\mathrm{\&}[R]$-բաժանում պարունակությամբ․

որտեղ․ $A/B$ դա վերջնական բազմության բաժանումը հավասարաքանակ, չհատվող ենթաբազմությունների,այնպիսի, որ

$B_{\alpha }=B_{\beta },$$\bigcup _{\alpha \in C}{B}_{\alpha }+R=A,$ $\bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\mathrm{\varnothing }\},$ բոլոր գործակիցների համար $\alpha ,\beta \in C$, այնպիսիք, որ $\alpha =\beta ;$

$R$-մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը $\{\mathrm{\varnothing }\}⩽R<B$,

Ամբողջ թվերի բաժանում

Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։

Օրինակ՝ $-7/(-3)=2$ մնացորդը (-1) կամ $-7\equiv 2(\mathrm{mod}3)$.

Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։

Ռացիոնալ թվերի բաժանում

Կոտորակների բաժանում․

Իրական թվերի բաժանում

Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է $ℝ$. Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն։

$\alpha =\pm a_0,a_1{a}_2\dots a_n\dots =\{a_n\},$

$\beta =\pm b_0,b_1{b}_2\dots b_n\dots =\{b_n\},$

Եթե ՝ $\alpha =[a_n]$ և $\beta =[b_n]$, ապա դրանց քանորդ համարվում է $\gamma =[c_n]$, որը որոշվում է$\{a_n\}$ և $\{b_n\}$:

$\gamma =\alpha :\beta \stackrel{\text{def}}{=}[a_n]:[b_n]=[a_n/b_n]$,

իրական $\gamma =\alpha :\beta$ թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

$\mathrm{\forall }{a}^{\prime },a^{″},b^{\prime },b^{″}\in \mathbb{Q};(a^{\prime }⩽\alpha ⩽a^{″})\wedge (b^{\prime }⩽\beta ⩽b^{″})\Rightarrow (a^{\prime }:b^{\prime }⩽\alpha /\beta ⩽a^{″}:b^{″})\Rightarrow (a^{\prime }:b^{\prime }⩽\gamma ⩽a^{″}:b^{″}).$

Այսպիսով, երկու իրական $\alpha$ և $\beta$ թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական $\gamma$ թիվը, որը գտնվում էբոլոր $a^{\prime }:b^{\prime }$ տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից $a^{″}:b^{″}$քանորդների միջևԿաղապար:Sfn։

$\gamma =\pi :e$ բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․

• Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
• Ստանում ենք՝ $\pi \approx 3.1416,e\approx 2.7183$․
• Բաժանում ենք սյունակով՝ $\gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557$․
• Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ $\gamma \approx 1.156$.

Տես նաև

• Բաժանելիության հայտանիշներ
• Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
• Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
• Բազմանդամների բաժանումը սյունակով
• Մնացորդով բաժանում

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք