Մնացորդով բաժանում

Կարկանդակը ունի 9 կտոր, կնշանակի 4 հոգուց յուրաքանչյուրը ստանում է 2 կտոր, իսկ 1-ը մնացել է

Մնացորդով բաժանում, թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում․

Դիցուք, $a$ և $b$ -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում, $b\ne 0$։ $a$ թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի») $b$-ի («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ $q$ և $r$ թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի $a=b\cdot q+r$հավասարությունը։

Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ $q$ -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ $r$-ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ $0⩽r<|b|$, այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի $a=b\cdot q+r$ հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։

Օրինակ

• Դրական $a=78$ թվի և $b=33$-ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք $q=2$ թերի քանորդ և $r=12$ մնացորդ։

Ստուգում․ $78=33\cdot 2+12.$

Բաժանում

• Բացասական $a=-78$ թվի և դրական $b=33$-ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք $q=-3$ թերի քանորդ և $r=21$ մնացորդ։

Ստուգում․ $-78=33\cdot (-3)+21.$

• Բացասական $a=-9$ թվի և բացասական $b=-13$ -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք $q=1$ թերի քանորդ և $r=4$ մնաց

Ստուգում․ $-9=1\cdot (-13)+4.$

• Դրական $a=9$ թվի և $b=90$ մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան $q=0$ թերի քանորդ և $r=9$ մնացորդ։

Ստուգում․ $9=90\cdot 0+9.$

• $a=78$ թվի և $b=26$ մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք $q=3$ թերի քանորդ և $r=0$ մնացորդ։

Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։

Սահմանում

Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին, կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

$a$ և $b$ թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել $a$-ն $b$-ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։

$q=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ,$ երբ $b>0$.

որտեղ կիսափակագծերը $\lfloor \cdot \rfloor$ նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի $q$ արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել $r$ մնացորդը հետևյալ բանաձևով։

$r=a-b\cdot q.$

Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։

$q=\lceil \frac{a}{b}\rceil ,$ երբ $b<0$.

«mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ

Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ $a$-ի և $b$-ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես Կաղապար:Math

$r=amodb.$

Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության $b$ նշանակման հետ։ $r$-ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։

$r\equiv a(\mathrm{mod}b),$

Այդ համեմատությունը չի ենթադրում $0⩽r<|b|$ անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում $r$ լինի մնացորդ։

Ծրագրավորման մեջ

Թերի քանորդի և մնացորդի հաշվումը ծրագրավորման տարբեր լեզուներում

Լեզու	Թերի քանորդ	Մնացորդ	Մնացորդի նշանը
ActionScript		%	Բաժանելի
Ada		mod	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
Besic	\	MOD	Որոշված չէ
C (ISO 1990)	/	%	Որոշված չէ
C (ISO 1999)	/	%	Բաժանելի
C++ (ISO 2003)	/	%	Որոշված չէ
C++ (ISO 2011)	/	%	Բաժանելի
C#	/	%	Բաժանելի
ColdFusion		MOD	Բաժանելի
Common Lisp		mod	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
D	/	%	Բաժանելի
Delphi	div	mod	Բաժանելի
Eiffel	//	\\	Բաժանելի
Erlang	div	rem	Բաժանելի
Euphoria		remainder	Բաժանելի
Microsoft Excel (անգ․)	Կաղապար:Nobr	MOD()	Բաժանարար
Microsoft Excel (ռուս․)	ЧАСТНОЕ()	ОСТАТ()
FileMaker	Div()	Mod()	Բաժանարար
Fortran		mod	Բաժանելի
		modulo	Բաժանելի
GML (Game Maker)	div	mod	Բաժանելի
Go	/	%	Բաժանելի
Haskell	div	mod	Բաժանարար
	quot	rem	Բաժանելի
J		|~	Բաժանարար
Java	/	%	Բաժանելի
	Math.floorDiv	Math.floorMod	Բաժանարար (1.8+)
JavaScript	.toFixed(0)	%	Բաժանելի
Lua		%	Բաժանարար
Mathematica	Quotient	Mod	Բաժանարար
MATLAB	idivide(?, ?, 'floor')	mod	Բաժանարար
	idivide	rem	Բաժանելի
MySQL	DIV	MOD %	Բաժանելի
Oberon	DIV	MOD	+, եթե բաժանարարը >0
Objective Caml		mod	Որոշված չէ
Pascal	div	mod	Բաժանելի
Perl	Нет	%	Բաժանարար
PHP	Нет	%	Բաժանելի
PL/I		mod	Բաժնարար(ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)		mod	Բաժանարար
PureBasic	/	Mod %	Բաժանելի
Python	//	%	Բաժանարար
QBasic	\	MOD	Բաժանելի
R		%%	Բաժանարար
RPG		%REM	Բաժանելի
Ruby	/	%	Բաժանարար
Scheme		modulo	Բաժանարար
SenseTalk		modulo	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
Tcl		%	Բաժանարար
Verilog (2001)		%	Բաժանելի
VHDL		mod	Բաժանարար
		rem	Բաժանելի
Visual Basic	\	Mod	Բաժանելի

Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։

Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով modգործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկdiv-ը կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Ընդհանրացում

Իրական թվեր

Եթե $a$ և $b$ երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը և հավասար չեն զրոյի, ապա $a$-ն կարելի է բաժանել $b$-ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։

Ձևաբանորեն․ եթե $a,b\in ℝ,b\ne 0$, ապա $a=bq+r$, որտեղ $0⩽r<|b|$.

Օրինակ

7,9 -ը 2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․

$\lfloor \frac{7,9}{2,1}\rfloor =3$ (թերի քանորդ)․

$7,9-3\cdot 2,1=1,6$ (մնացորդ)։

Գաուսի ամբողջ թվեր

Գաուսյան թիվը, դա $a+bi$ տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։

Ցանկացած $u$ գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր $v$ թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․

$u=vq+r$,

որտեղ $q$ քանորդը և $r$ մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում $|r|<|v|$

Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։

Օրինակ․ $7+2i$ կարելի է բաժանել $3-i$ ՝ երեք եղանակով։

$7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).$

Բազմանդամներ

Երկու $f(x)$ և $g(x)$ բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․

Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։

$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$, причём $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(g)$.

Օրինակ

$\frac{2x^2+4x+5}{x+1}=2x+2$ (մնացորդ 3), քանի որ $1=2x^2+4x+5=(x+1)(2x+2)+3$.

Տես նաև

• Էվկլիդեսի ալգորիթմ
• Բաժանելիություն
• Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
• Անընդհատ կոտորակ
• Մոդուլով համեմատում