Բաժանելիություն

Բաժանելիություն, թվաբանության և թվերի տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ կապված բաժանման գործողության հետ։ Բազմությունների տեսության տեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը հանդիսանում է հարաբերություն՝ որոշված ամբողջ թվերի բազմության վրա։

Սահմանում

Եթե որևէ $a$ և $b$ ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի $q$ ամբողջ թիվ, որ $bq=a$, ապա ասում են, որ $a$ թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է $b$ թվի վրա կամ՝ $b$ թիվը տրոհում է $a$ թիվը։

Ընդ որում $b$ թիվը կոչվում է $a$ թվի բաժանարար, $a$ թիվը՝ բաժանելին, հանդիսանում է $b$ թվի բազմապատիկ, իսկ $q$ թիվը կոչվում է $a$ թիվը $b$ թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված քանորդ։

Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է ամբողջ թվերի բազմության վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն բնական թվերի բաժանելիությունը։ Մասնավորապես, բնական թվի բաժանարարների քանակի ֆունկցիան հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները։

Նշանակումներ

• $a⋮b$ նշանակում է, որ $a$ թիվը բաժանվում է $b$ թվի վրա, կամ՝ որ $a$ թիվը $b$ թվի բազմապատիկն է։
• $b\mid a$ նշանակում է, որ $b$ թիվը տրոհում է $a$ թիվը, կամ, որ նույնն է՝ $b$ թիվը $a$ թվի բաժանարարն է։

Առնչվող սահմանումներ

• Մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և նույն թիվը։ Ընդ որում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար, կոչվում են պարզ, իսկ երկուսից ավելի բաժանարարներ ունեցողները՝ բաղադրյալ թվեր։ Մեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և չի հանդիսանում ո՛չ պարզ, ո՛չ բաղադրյալ։
• $1$-ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար։
• Թվի սեփական բաժանարար է կոչվում այդ թվի՝ իրենից տարբեր ցանկացած բաժանարար։ Պարզ թվերն ունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ մեկ թիվը։
• Անկախ $a$ ամբողջ թվի՝ $b\ne 0$ ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից, $a$ թիվը միշտ կարելի է մնացորդով բաժանել $b$ թվի վրա, այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով.

  $a=bq+r,$ որտեղ $0⩽r<|b|$:

Այս առնչության մեջ $q$ թիվը կոչվում է թերի քանորդ, իսկ $r$ թիվը՝ $a$ թիվը $b$ թվի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ։ Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միարժեքորեն։

$a$ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է $b$ թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ $a$ թիվը $b$ թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի։

• Ցանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ինչպես $a$, այնպես էլ $b$ թվերը, կոչվում է նրանց ընդհանուր բաժանարար, այդ թվերից մեծագույնը կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։ Ցանկացած թվազույգ ունի առնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝ $+1$ և $-1$: Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարներ չկան, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձ պարզ։
• Երկու $a$ և $b$ ամբողջ թվեր կոչվում են հավասարապես բաժանելի $m$ ամբողջ թվի վրա, եթե և՛ $a$ թիվը, և՛ $b$ թիվը բաժանվում է $m$ թվի վրա, կամ ո՛չ $a$ թիվը, և ո՛չ էլ $b$ թիվը չի բաժանվում նրա վրա։
• Ասում են, որ $a$ թիվը $b$ թվի բազմապատիկ է, եթե $a$ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է $b$ թվի վրա։ Եթե $c$ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է $a$ և $b$ թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի ընդհանուր բազմապատիկ։ Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է $a$ և $b$ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Հատկություններ

Նշում. այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ $a,b,c$ ամբողջ թվեր են։

• Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է զրոյի բաժանարար, և քանորդը հավասար է զրոյի.

$0⋮a:$

• Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկի.

$a⋮1:$

• Զրոյի վրա բաժանվում է միայն զրոն.

$a⋮0\Rightarrow a=0$, ընդ որում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ։

• Մեկը բաժանվում է միայն մեկի վրա.

$1⋮a\Rightarrow a=\pm 1:$

• Ցանկացած $a\ne 0$ ամբողջ թվի համար կգտնվի այնպիսի $b\ne a,$ ամբողջ թիվ, որի դեպքում $b⋮a:$
• Եթե $a⋮b$ և $\left|b\right|>\left|a\right|,$ ապա $a=0:$ Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե $a⋮b$ և $a\ne 0,$ ապա $\left|a\right|⩾\left|b\right|:$
• Որպեսզի $a⋮b,$ անհրաժեշտ է և բավարար, որ $\left|a\right|⋮\left|b\right|:$
• Եթե $a_1⋮b,a_2⋮b,\dots ,a_n⋮b,$ ապա $(a_1+a_2+\dots +a_n)⋮b:$
• Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն, և մասնավորաբար, այն
  • անդրադարձական է, այսինքն՝ ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա.$a⋮a:$
  • փոխանցական է, այսինքն՝ եթե $a⋮b$ և $b⋮c,$ ապա $a⋮c:$
  • հակասիմետրիկ (հակահամաչափ) է, այսինքն՝ եթե $a⋮b$ և $b⋮a,$ ապա $a=b:$

Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝ $2⋮-2$ և $-2⋮2,$ սակայն $2\ne -2:$

Բաժանարարների քանակը

$n$ բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է $\tau (n),$ հանդիսանում է բազմապատկական ֆունկցիա, նրա համար ճշմարիտ է Դիրիխլեի ասիմպտոտիկ բանաձևը.

$\sum _{n=1}^N\tau (n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right):$

Այստեղ $\gamma$-ն՝ Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն է, իսկ $\theta$-ի համար Դիրիխլեն ստացել է $\frac{1}{2}$ արժեքը։ Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝ $\theta =\frac{131}{416}$ (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին)։ Սակայն, $\theta$-ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան $\frac{1}{4}$):

Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես $\frac{c_{1}n}{\sqrt{\ln n}}$, ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան։ Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝ $c_1=\frac{1}{\pi }\prod _p(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}}\ln (1+\frac{1}{p}))\approx 0,7138067$:

Ընդհանրացումներ

Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական օղակների վրա, օրինակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերը կամ բազմանդամների օղակը։

Տես նաև

• Բաժանում (մաթեմատիկա)
• Մնացորդով բաժանում
• Բաժանելիության հայտանիշներ
• Օղակ (մաթեմատիկա)

Գրականություն

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга

Արտաքին հղումներ

• Տեսանյութ բաժանելիության մասին