0 (թիվ)

Զրոյի սիմվոլը

0 (զրո), թիվ, որը ցանկացած թվի գումարելիս կամ նրանից հանելիս չի փոխում վերջինիս արժեքը, ցանկացած թվով բազմապատկելիս ստացվում է 0։ Ցանկացած թիվ զրոյի բաժանելը համարվում է անիմաստ գործողություն։

0-ն մաթեմատիկայում

Զրոյի հիմնական հատկությունները

• 0-ն ամբողջ թիվ է։
• Զրոն զույգ թիվ է, քանի որ այն 2-ի վրա բաժանելիս ստացվում է ամբողջ թիվ . $0/2=0$.
• Թվային առանցքի վրա 0-ն բաժանում է դրական և բացասական թվերը։

• Զրոն նշան չունի։
• Զրո գումարելիս ցանկացած թիվ չի փոխվում. $a+0=0+a=a$.
• Ցանկացած թվից զրո հանելիս ստացվում է միևնույն թիվը. $a-0=a$.
• Զրոյի և ցանկացած թվի արտադրյալը հավասար է զրոյի. $a\cdot 0=0\cdot a=0$.
• Զրոն ցանկացած ոչ զրոյական թվի վրա բաժանելիս ստացվում է զրո. $0/a=0$ $a\ne 0$ դեպքում։

Բաժանում զրոյի վրա

• Բաժանում զրոյի վրա հնարավոր չէ ոչ մի դաշտում կամ օղակում, ներառյալ իրական թվերի և կոմպլեքս թվերի դաշտերը։

Իրականում, եթե նշանակենք $\frac{a}{0}=b$, ապա բաժանման սահմանման համաձայն պետք է լինի.

$b\cdot 0=a$, այն ժամանակ, երբ $b\cdot 0$ արտահայտությունը ցանկացած $b$ -ի դեպքում հավասար է զրոյի։ Այլ խոսքերով, զրոյի համար հակադարձ էլեմենտ գոյություն չունի ոչ մի դաշտում։

• Ոչզրոյական կոմպլեքս թվի բաժանումը զրոյի վրա հնարավոր է ընդլայնված կոմպլեքս հարթության վրա, նրա արդյունքը անվերջ հեռու կետ է։

Որոշ ֆունկցիաների արժեքներ

• Ցանկացած ոչ զրոյական թիվ զրոյական աստիճան բարձրացնելիս ստացվում է մեկ. $a^0=1$։
  • $0^0$ (զրոյի զրո աստիճան)արտահայտությունն ընդունված է համարել իմաստազուրկ, այսինքն՝ անորոշ։

,

• Զրոյի ֆակտորիալը հավասար ` մեկի. $0!=1$։

Զրոն մաթեմատիկական անալիզում

• $(a/b)$ հարաբերության (որտեղ $a\to 0$ և $b\to 0$ ) սահմանը հաշվելիս առաջանում է իրավիճակ, երբ անմիջական տեղադրման արդյունքում ստացվում է $(0/0)$ արտահայտությունը, որի արժեքը որոշված չէ։ Անորոշությունները բացելիս հնարավոր են յոթ այդպիսի իրավիճակներ, որոնցից չորսում առկա է զրոն. $\left(\frac{0}{0}\right)$, $(0^0)$, $({\mathrm{\infty }}^0)$, $(0\cdot \mathrm{\infty })$։

• Հնարավոր է նաև իրավիճակ, երբ դիտարկվում է անվերջ փոքր մեծության միակողմանի (աջ կամ ձախ) սահմանը.

• Աջ սահման. $\underset{x\to +0}{\lim }\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{0}\right)=+\mathrm{\infty }$ կամ $\left(\frac{1}{x}\right)\underset{x\stackrel{}{\to }+0}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$.
• Ձախ սահման. $\underset{x\to -0}{\lim }\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{0}\right)=-\mathrm{\infty }$ կամ $\left(\frac{1}{x}\right)\underset{x\stackrel{}{\to }-0}{\overset{}{\to }}-\mathrm{\infty }$.

0-ի կիրառման պատմությունից

Հին Հունաստանում 0 թիվը հայտնի չի եղել։ Կլավդիոս Պտղոմեոսի աստղագիտական աղյուսակներում դատարկ վանդակները նշանակվել են օ սիմվոլով (օմիկրոն տառը, հին հունարեն` ονδεν — ոչինչ)։ Չի բացառվում, որ այդ նշանակումը նպաստել է 0-ի ի հայտ գալուն, սակայն պատմաբանների մեծամասնությունն ընդունում է, որ տասնորդական 0-ն հայտնագործել են հնդիկ մաթեմատիկոսները։ Առանց 0-ի հնարավոր չէր թվերի տասնորդական գրառման ստեղծումը Հնդկաստանում։ 0-ի առաջին կոդը երևում է 876 թ. հնդկական գրառման մեջ, այն ունի մեզ ծանոթ շրջանի տեսք։ Եվրոպայում երկար ժամանակ 0-ն համարվում էր պայմանական սիմվոլ և չէր ճանաչվում որպես թիվ։ XVII դարում Ջոն Վալլիսը գրել է.Կաղապար:Քաղվածք Թվաբանական աշխատություններում բացասական թիվը դիտվել է որպես պարտք, իսկ 0-ն՝ ամբողջական սնանկացման իրավիճակ։ 0-ի՝ մյուս թվերի հետ իրավահավասարությանը նպաստեցին հատկապես Լեոնարդ Էյլերի աշխատությունները։

0-ն երկրաչափությունում

• Կետը կարելի է դիտարկել որպես զրոյական օբյեկտ։
• Հարթության՝ մեկ զրոյական կոորդինատ ունեցող կետը գտնվում է համապատասխան կոորդինատային առանցքի վրա։ Երկու զրոյական կոորդինատներով տրվում է կետ, որը կոչվում է կոորդինատների սկզբնակետ։
• Եռաչափ տարածության՝ մեկ զրոյական կոորդինատ ունեցող կետը գտնվում է համապատասխան կոորդինատային հարթությունում։ Եռաչափ տարածության կետը նույնպես կոչվում է կոորդինատների սկզբնակետ, եթե նրա բոլոր կոորդինատները զրոյական են։
• Համանման պնդումները ճիշտ են ցանկացած չափողականության տարածության համար։
• Շրջանագծի վրա 0° և 360° դասավորությունները համընկնում են։

0-ն գիտության և տեխնիկայի այլ բնագավառներում

Զրոն Հաճախ օգտագործվում է որպես հաշվման սկիզբ։

• Զրոն հանդիպում է ֆիզիկայի շատ բաժիններում.
  • Ձայնի բարձրությունը չափելիս 0-ն ընդունվում է լսելիության շեմ։
  • Քվանտամեխանիկական համակարգում էներգիայի հնարավոր նվազագույն մակարդակը կոչվում է զրոյական էներգիա։
  • Հայտնի է բացարձակ զրոյական ջերմաստիճան` 0-ն Կելվինի սանդղակում։ Սակայն կենցաղում ավելի հաճախ օգտագործվում են ջերմաստիճանի այլ սանդղակներ։

Մասնավորապես, Ցելսիուսի սանդղակում 0-ն ընդունված է ջրի սառեցման կետը։

• Քարտեզագրության մեջ հայտնի են զրոյական կիլոմետր, զրոյական միջօրեական այժմ` (Գրինվիչի միջօրեական) և այլն։
• Հուլյան և գրիգորյան օրացույցներում զրոյական տարեթիվ չկա, այնպես, ինչպես ոչ տարին, ոչ ամիսը զրոյական օր չեն պարունակում։ Սակայն գոյություն ունի աստղագիտական սանդղակ, որտեղ առկա է զրոյական տարի։

0-ն լեզվի և մշակույթի մեջ

• 0-ի վրա լինել - ինչ-որ բանի բացակայություն։
• Փոխաբերական իմաստով՝ ոչնչություն, իրենից ոչինչ չներկայացնող։
• Խոսակցականում՝ 0-ից սկսել՝ սկսել դատարկ տեղում։
• Օրվա ժամը նշելուց հետո 00 արտահայտությունը նշանակում է հենց այդ ժամին, առանց րոպեների։

Հղումներ

• История нуля
• Почему нельзя делить на ноль? Կաղապար:Webarchive
• Символика чисел (нуль) Կաղապար:Webarchive /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
• О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Կաղապար:Webarchive Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
• Свойства числа ноль Կաղապար:Ref-ru