Գնդային եռանկյուն

Սֆերիկ եռանկյուն

Գնդային եռանկյուն, սֆերայի (գնդի) մակերեևույթին գտնվող երկրաչափական մարմին, կազմված երեք կետից և երեք մեծ շրջանների աղեղներից, որոնք միացված են զույգ առ զույգ։ Սֆերայի մակերևույթի երեք մեծ շրջանները մեկ կետում չեն հատվում և կազմում են 8 գնդային եռանկյուններ։

Գնդային եռանկայն տարրերի միջև առնչություններն ուսումնասիրում է գնդային եռանկյունաչափությունը։

Գնդային եռանկյան կողմը հաշվվում է կենտրոնական անկյան վրա հիմնված մեծությամբ։ Եռանկյան անկյունը չափվում է այն երկնիստ անկյան չափով, որի նիստերի վրա ընկած են անկյան կողմերը։ Այն գնդային եռանկյունը, որի բոլոր կողմերը փոքր են մեծ կիսաշրջանից, իսկ անկյունները փոքր են Π-ից, կոչվում են էյլերյան եռանկյուններ։ Հաջորդիվ կուսումնասիրվեն են էյլերյան եռանկյունները։

Գնդային եռանկյունները առաջանում են երեք մեծ շրջանների հատումից:

Գնդային եռանկյան անկյունները

A'B'C' բևեռային եռանկյուն

Հատկություններ

• Եռանկյունների հավասարության երեք հայտանիշներից բացի, այս եռնկունների համար կա նաև չորրորդ հայտանիշը։ Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց երեք համապատասխան անկյունները։ Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ այդպիսի եռանկյունները նման են։ Գնդային երկրաչափության մեջ նմանության գործակիցը միշտ հավասար է մեկի, այդ պատճառով նրանում չկան նման, բայց իրար ոչ հավասար պատկերներ։
• Տրված (ᐃABC) եռանյան համար բևեռային է կոչվում (ᐃA'B'C') այնպիսի եռանկյունը, որի A', B', C' գագաթները հանդիսանում են համապատասխանաբար BC, CA, AB կողմերի բևեռները, և A և A', B և B', C և C' կետերը ընկած են համապատասխանաբար BC, CA, AB կողմերի նկատմամբ նույն կողմումԿաղապար:Sfn։
  • Ցանկացած բևեռային եռանկյան համար տեղի ունի․$K^{\prime }=\pi -k$; $k^{\prime }=\pi -K$, որտեղ անկյունը՝ $K=\alpha ,\beta ,\gamma$ և կողմը՝ $k=a,b,c$.
  • Գնդային եռանկյունը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, բևեռային է ինքը իրեն։
• Գնդային եռանկյան կողմերի համար տեղի ունի հետևյալ եռանկյան անհավասարությունը․ Ամեն մի կողմը փոքր է մյուս երկուսի գումարից և մեծ նրանց տարբերությունից։
• $a+b+c$ երեք կողմերի գումարը միշտ փոքր է $2\pi$։
  • $2\pi -(a+b+c)$մեծությունը կոչվում է գնդային պակասորդ։
• Գնդային եռանկյան անկյունների $s=\alpha +\beta +\gamma$ գումարը միշտ փոքր է $3\pi$ և մեծ $\pi$։
  • $s-\pi =\epsilon$ մեծությունը կոչվում է գնդային ավելցուկ կամ գնդային էքսցես (խախտում)։
  • Մակերեսը որոշվում է հետևյալ բանաձևով $S=R^2\epsilon =R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$։ Մակերեսի գնդային ավելցուկին համեմատական լինելը պայմանավորված է մակերևույթի երեք երկանկյուններով պատված լինելով, որոնք կազմում են գնդային եռանկյուն։
• Եթե գնդային եռանկյան երեք անկյուններից հանենք երկուսը, կստանանք $\pi$-ց փոքր անկյուն։
• Ի տարբերություն հարթ եռանկյան, գնդայինը կարող է ունենալ երկու կամ երեք՝ ուղիղ կամ բութ անկյուն։

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք (§1. Сферическая геометрия.)
• Կաղապար:Ռուսերեն հոդված

Արտաքին հղումներ

• Краткий справочник по сферической тригонометрии
• Статья на Wolfram MathWorld [1]