Գրավիտացիոն պոտենցիալ

Գրավիտացիոն պոտենցիալի երկչափ հատույթի գծագիրը համասեռ սֆերիկ մարմնի շրջակայքում

Գրավիտացիոն պոտենցիալ, կոորդինատների և ժամանակի սկալյար ֆունկցիա, որը բավարար է գրավիտացիոն դաշտի լրիվ նկարագրման համար դասական մեխանիկայում։ Գրավիտացիոն պոտենցիալն ունի արագության քառակուսու չափականությունը և սովորաբար նշանակվում է $\phi$ տառով։ Հավասար է գրավիտացիոն դաշտի դիտարկվող կետում գտնվող նյութական կետի պոտենցիալ էներգիայի և այդ կետի զանգվածի հարաբերությանը։ Գրավիտացիոն պոտենցիալի հասկացությունն առաջին անգամ ներմուծել է Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 18-րդ դարի վերջին։

Գրավիտացիայի ժամանակակից տեսություններում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերում սովորաբար թենզորական դաշտերն են։ Այսպես, գրավիտացիայի ներկայիս ստանդարտ տեսությունում՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերը խաղում է մետրիկ թենզորը։

Գրավիտացիոն պոտենցիալ և շարժման հավասարումներ

Դասական մեխանիկայում մասնիկի շարժումը գրավիտացիոն դաշտում որոշվում է Լագրանժի ֆունկցիայով, որը իներցիալ հաշվարկման համակարգում հետևյալ տեսքն ունի՝

$L=\frac{m{\dot{q}}^2}{2}-m\phi$, որտեղ $m$֊ը մասնիկի զանգվածն է, $q$֊ն՝ կոորդինատները, $\phi$֊ն՝ գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը։

L լագրանժյանի համար արտահայտությունը տեղադրելով Լագրանժի հավասարման մեջ՝

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$,

ստանում ենք շարժման հավասարումները՝

$\ddot{q}=-grad(\phi )$:

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և համարժեքության սկզբունքը

Դասական մեխանիկայում գրավիտացիոն դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումները չեն պարունակում զանգվածը կամ մասնիկը բնութագրող այլ մեծություն։ Դա գրավիտացիոն դաշտի հիմնական հատկության՝ համարժեքության սկզբունքի արտահայտությունն է։

Կետային մասնիկի և կամայական մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը

Կետային մասնիկի գրավիտացիոն պոտենցիալը հավասար է

$\phi =-\frac{Gm}{R}$,

որտեղ $G$֊ն գրավիտացիոն հաստատունն է, $m$֊ը՝ մասնիկի զանգվածը, $R$֊ը՝ հեռավորությունը մասնիկից։ Այս նույն բանաձևն արդարացի է ցանկացած մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալի համար, որի ներսում խտությունը սֆերրիկ սիմետրիկ է բաշխված։

Կամայական $\rho$ խտությամբ բաշխված զանգվածով մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալը բավարարում է Պուասսոնի հավասարմանը․

$\mathrm{\Delta }\phi =-4\pi G\rho$,

որտեղ $\mathrm{\Delta }$֊ն Լապլասի օպերատորն է, $\rho$֊ն՝ զանգվածի բաշխման ծավալային խտությունը դիտարկվող կետում։ Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝

$\phi =-G\underset{V}{\int }\frac{\rho dV}{r},$,

որտեղ r֊ը dV ծավալի տարրի հեռավորությունն է դաշի դիտարկվող կետից, իսկ ինտեգրումը կատարվում է դաշտը ստեղծող մարմնի ամբողջ ծավալով։ Սիմետրիկ մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը սիմետրիկ է։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և պոտենցիալ էներգիան

Մասնիկի պոտենցիալ էներգիան գրավիտացիոն դաշտում հավասար է նրա զանգվածի և դաշտի պոտենցիալի արտադրյալին։ Զանգվածի կամայական բաշխման դեպքում պոտենցիալ էներգիայի համար ճիշտ է

$U=\frac{1}{2}\int \mu \phi dV,(1)$

արտահայտությունը, որտեղ $\mu$֊ն մարմնի զանգվածի խտությունն է, $\phi$֊ն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալը, $V$֊ն՝ մարմնի ծավալը։

Հաստատուն գրավիտացիոն դաշտի գրավիտացիոն պոտենցիալ

Կամայական մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալի բանաձևն ունի

$\phi =-G(\frac{M}{R_0}+\frac{1}{6}{D}_{\alpha \beta }\frac{{\partial }^2}{\partial X_{\alpha }\partial X_{\beta }}\frac{1}{R_0}+...)(2),$

տեսքը, որտեղ $M=\int \mu dV$֊ը համակարգի լրիվ զանգվածն է, իսկ

$D_{\alpha \beta }=\int \mu (3x_{\alpha }{x}_{\beta }-r^2{\delta }_{\alpha \beta })dV$

մեծությունները կարելի է անվանել զանգվածի քվադրուպոլմոմենտի թենզոր։ Սովորական

$J_{\alpha \beta }=\int \mu (r^2{\delta }_{\alpha \beta }-x_{\alpha }{x}_{\beta })dV$

իներցիայի մոմենտի թենզորի հետ այն կապված է

$D_{\alpha \beta }=J_{\gamma \gamma }{\delta }_{\alpha \beta }-3J_{\alpha \beta }$

առնչություններով։

Մոլորակների գրավիտացիոն պոտենցիալը

Ընդհանուր դեպքում ցանկացած տիեզերական մարմնիի գրավիտացիոն պոտենցիալը կարելի է վերլուծել ըստ սֆերիկ ֆունկցիաների՝

$U=\frac{GM}{r}(1-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{J}_n{\left(\frac{R}{r}\right)}^n{P}_n(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^n{\left(\frac{R}{r}\right)}^n(C_{nm}\cos (m\lambda )+S_{nm}\sin (m\lambda ))P_n^k(\sin \theta ))$։

Այստեղ $r,\theta ,\lambda$֊ը դիտարկվող կետի սֆերիկ կոորդինատներն են, $P_n$֊ն՝ Լեժանդրի n-րդ կարգի բազմանդամը, $P_n^k$֊ը՝ Լեժանդրի միակցված բազմանդամները, $J_n,C_{nm},S_{nm}$֊ը՝ գրավիտացիոն մոմենտներըԿաղապար:Sfn։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և մարմնի գրավիտացիոն էներգիան

Մարմնի գրավիտացիոն էներգիանն ստացվում է՝ ինտեգրելով (1) արտահայտությունը մարմնի ծավալով, պոտենցիալի համար օգտագործելով (2) արտահայտությունը։ m զանգվածով, a շառավղով, զանգվածի խտության հավասարաչափ բաշխումով գնդի համար ստացվում է մարմնի U գրավիտացիոն էներգիայի արտահայտությունը՝

$U=\frac{-3G{m}^2}{5a}$։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը

հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում ունի

$\frac{d^2{x}^i}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{rs}^i\frac{d{x}^r}{ds}\frac{d{x}^s}{ds}=0$,

տեսքը, որտեղ ${\mathrm{\Gamma }}_{rs}^i=\frac{g^{ik}}{2}(\frac{d{g}_{kr}}{d{x}^s}+\frac{d{g}_{ks}}{d{x}^r}-\frac{d{g}_{rs}}{d{x}^k})$֊ն Քրիստոֆելի սիմվոլներն են, $g_{ik}$֊ն մետրիկ թենզորն է, որը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ բնութագրում է գրավիտացիոն դաշտը։

Այս շարժման հավասարումները համեմատելով $\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=-\frac{d\phi }{d{x}^i}$ շարժման հավասարումների հետ տեսնում ենք, որ $\phi$ գրավիտացիո պոտենցիալի դերը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ խաղում է մետրիկ թենզորը։ Լույսի արագությունից փոքր արագությունների և թույլ հաստատուն գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում շարժման հավասարումներն ընդունում են

$\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=-c^2{\mathrm{\Gamma }}_{44}^i$

տեսքը $i=1,2,3$ տարածական և $x^4=ct$ ժամանակային կոորդինատների համար։ Անտեսելով ըստ ժամանակի ածանցյալները, ${\mathrm{\Gamma }}_{44}^i$֊ի փոխարեն կարելի է տեղադրել $-\frac{1}{2}\frac{d{g}_{44}}{d{x}^i}$ և այսպիսով ստանալ

$\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=-\frac{d\phi }{d{x}^i}$

շարժման նյուտոնյան հավասարումները։ Այստեղ $\phi$ գրավիտացիոն պոտենցիալը և մետրիկ թենզորի $g_{44}$ բաղադրիչները կապված են

$\phi =-\frac{1}{2}{c}^2(g_{44}+1)$, $g_{44}=-(1+\frac{2\phi }{c^2})$

առնչություններով։

Քանի որ դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը հավասար է

$d{s}^2=g_{44}(d{x}^4{)}^2$,

իսկ ժամանակը՝

$t=\frac{x^4}{c}$,

ապա ժամացույցի դանդաղումը գրավիտացիոն դաշտում կլինի

$t_g=\frac{t}{\sqrt{-g_{44}}}=\frac{t}{\sqrt{1+\frac{2\phi }{c^2}}}\approx t(1-\frac{\phi }{c^2})$։

Գրավիտացիոն պոտենցիալի ավելի փոքր արժեքով կետում Ժամանակի ընթացքի հարաբերական դանդաղումը համեմատած ավելի մեծ գրավիտացիոն պոտենցիալով կետի հետ հավասար է այդ կետերում գրավիտացիոն պոտենցիալի տարբերության և լույսի արագության քառակուսու հարաբերությանը։

Տես նաև

• Նյուտոնի դասական ձգողության տեսություն

Գրականություն

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
• С. Вейнберг, «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
• К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք