Կոշիի խնդիր

Կոշիի խնդիր – դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության (սովորական և մասնակի ածանցյալով) հիմնական խնդիրներից մեկն է, որտեղ պահանջվում է գտնել (ինտեգրալ) դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին (սկզբնական տվյալներին)։

Կոշիի խնդիրը սովորաբար առաջանում է գործընթացների վերլուծության ժամանակ, որոնք որոշվում են դիֆերենցիալ օրենքների զարգացմամբ և սկզբնական վիճակով (որոնց մաթեմատիկական արտահայտությունները հանդիսանում են հավասարումները և սկզբնական պայմանները)։ Սրանով մոտիվացվում է տերմինալոգիան և ընտրության նշանակումը՝ սկզբնական տվյալները տրվում են $t=0$-ի, իսկ լուծումները որոնվում են $t>0$-ի դեպքերում։

Եզրային խնդիրներից Կոշիի խնդիրը տարբերվում է նրանով, որ միջակայքը, որում պետք է որոշված լինի որոնվող լուծումը, այստեղ նախօրոք չի նշվում։ Ամեն դեպքում Կոշիի խնդիրը կարելի է դիտարկել որպես եզրային խնդիրներից մեկը։

Հիմնական հարցերը, որոնք կապված են Կոշիի խնդրի հետ, այսպիսին են՝

1. գոյություն ունի (գոնե տեղային) Կոշիի խնդրի լուծում,
2. եթե լուծումը գոյություն ունի, ապա որն է նրա գոյության միջակայքը,
3. լուծումը արդյոք միակն է,
4. եթե լուծումը միակն է, ապա այն կոռեկտ է, այսինքն անընդհատ է (ինչ որ առումով) սկզբնական տվյալների նկատմամբ։

Ասում են, որ Կոշիի խնդիրը ունի միակ լուծումը, եթե այն ունի $y=f(x)$ լուծումը և ոչ մի այլ լուծում չի հանդիսանում ինտեգրալ կոր, որը $(x_0,y_0)$ կետի փոքր շրջակայքում ունի $y=f(x)$ ուղղվածության դաշտին համընկնող ուղղվածության դաշտ։ $(x_0,y_0)$ կետը տալիս է սկզբնական պայմանը։

Կոշիի խնդրի տարբեր դրվածքներ

• առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ածանցյալի նկատմամբ՝

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{array}$,

• $n$-րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, թույլատրելի ածանցյալների նկատմամբ ($n$-րդ կարգի սովորական համակարգ)`

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }=f_1(x,y_1,\dots ,y_n)\\ \dots \\ y_n^{\prime }=f_n(x,y_1,\dots ,y_n)\\ y_1(x_0)=y_{01}\\ \dots \\ y_n(x_0)=y_{0n}\end{array}⟺$ $\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{array}$,

• $n$-րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ավագ ածանցյալների նկատմամբ`

$\{\begin{array}{c}{y}^{(n)}=f(x,y,\dots ,y^{(n-1)})\\ y(x_0)=y_{01}\\ \dots \\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{0n}\end{array}⟺$ $\{\begin{array}{c}{y}_1^{\prime }=y_2(=y^{\prime })\\ \dots \\ y_{n-1}^{\prime }=y_n(=y^{(n-1)})\\ y_n^{\prime }=f(x,y_1,\dots ,y_n)\\ y_1(x_0)=y_{01}(=y(x_0))\\ \dots \\ y_n(x_0)=y_{0n}(=y^{(n-1)}(x_0))\end{array}$,

Կոշիի խնդրի լուծելիության թեորեմներ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար

Դիցուք $D\subset R_x\times R_y^n$ տիրույթում դիտարկվում է Կոշիի խնդիրը՝

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }(x)=f(x,y(x))\\ y(x_0)=y_0\end{array}$,

որտեղ $(x_0,y_0)\in D$: Դիցուք $\bar{D}$-ում առաջին մասը հանդիսանում է անընդհատ ֆունկցիա։ Այս ենթադրություններում տեղի ունի Պեանոյի թեորեմը, որը սահմանում է Կոշիի խնդրի լուծելիությունը։ Դիցուք $a>0$ և $b>0$ այնպիսին են, որ $D$ տիրույթին պատկանող փակ ուղղանկյուն է

$R=\{(x,y):x_0-a\le x\le x_0+a,y_0-b\le y\le y_0+b\}$,

այդ դեպքում $[x_0-\alpha ,x_0+\alpha ]$ հատվածի վրա, որտեղ $\alpha =\min \{a,b/M\}$, $M=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{(x,y)\in R}|f(x,y)|$, գոյություն ունի Կոշիի լուծումը։ Նշված հատվածը կոչվում է Պեանոյի հատված։ Նշենք, որ Պեանոյի թեորեմի տեղային բնույթը կապված չէ աջ մասի հարթ լինելուց։ Օրինակ, $f(x,y)=y^2+1$ և $x_0=0,y_0=0$-ի համար $y(x)=\tan (x)$-ի լուծումը գոյություն ունի միայն $(-\pi ,\pi )$ միջակայքում։ Նշենք նույնպես, որ առանց լրացուցիչ ենթադրությունների աջ մասի հարթ լինելուց, պետք չէ երաշխավորել Կոշիի խնդրի լուծման եզակի լինելը։ Օրինակ, $f(x,y)=\sqrt{y},x_0=0,y_0=0$–ի համար հնարավոր է մեկից ավելի լուծումներ։

Որպեսզի ձևակերպենք Կոշիի խնդրի լուծման միակության մասին թեորեմը, պետք է լրացուցիչ սահմանափակումներ դնել նրա աջ մասի վրա։ Կասենք որ, $f(x,y)$ ֆունկցիան բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին $D$-ի վրա կախված $y$-ից, եթե գոյություն ունի այնպիսի $L$ հաստատուն, որ

$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|$

բոլոր $(x,y_i)\in D,i=1,2...$-ի համար։

Դիցուք $f(x,y)$-ի աջ մասը լրացուցիչ բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին $D$-ի վրա կախված $y$-ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը չի կարող ունենալ $D$-ում մեկից ավելի լուծում։

Նշենք նույնպես, որ թեև այս թեորեմը ունի գլոբալ բնույթ, այնուամենայնիվ նա չի հաստատում գլոբալ լուծման գոյությունը։

Գլոբալ լուծման գոյության համար անհրաժեշտ է կիրառել ըստ $y$-ի աջ մասի աճի պայմանի։ Դիցուք $f$ ֆունկցիան բավարարում է $|f(x,y)|\le A(|y|+1),(x,y)\in D$ պայմանին, որտեղ $A>0$ հաստատունը կախված չէ ոչ $x$-ից և ոչ էլ $y$-ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը ունի լուծում $D$-ում։ Մասնավորապես, այս թեորեմից հետևում է, որ գծային հավասարումների համար (անընդհատ $x$ գործակիցներով) Կոշիի խնդիրը ունի գլոբալ լուծում։

Տես նաև

• Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ
• Հատուկ լուծում
• եզրային խնդիր
• Էյլերի մեթոդը
• Ռինգե-Կուտի մեթոդը
• Պեանոյի թեորեմը

Գրականություն

1. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения, издательство-Физматлит, 2005
2. Ф.Хартман - Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство - Мир, 1972