Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա (հայտնի է նաև արեաֆունկցիա կամ արեա-ֆունկցիա), տարրական ֆունկցիաների ընտանիք՝ սահմանվող որպես հիպերբոլական ֆունկցիաներին հակադարձ ֆունկցիաներ։ Այս ֆունկցիաները որոշում են միավոր հիպերբոլի սեկտորի մակերեսը Կաղապար:Math։ Համանման ձևով՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆուկցիաները որոշում են միավոր շրջանագծի աղեղի երկարությունը Կաղապար:Math։ Այս ֆունկցիաների համար հաճախ օգտագործվում են arcsinh, arcsh, arccosh, arcch, սակայն, դա սխալ է համարվում, քանի որ arc նշանակում է աղեղ (arcus), իսկ ar նշանակում է մակերես (area )։ Ավելի ճիշտ են համարվում arsinh, arsh և այլն։

Իրական արգումենտի արեասինուս

Իրական արգումենտի արեակոսինուս

Իրական արգումենտի արեատանգենս

Իրական արգումենտի արեակոտանգենս

Իրական արգումենտի արեասեկանս

Իրական արգումենտի արեակոսեկանս

Կոմպլեքսային հարթության մեջ այդ ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ նրանց հակադարձ ֆունկցիաները` բազմարժեք։

Ֆունկցիայի որոշումը

ֆունկցիայի անուն	Նշանակում	Անգլերեն նշանակում
Արեասինուս	arsh	arsinh, sinh−1
Արեակոսինուս	arch	arcosh, cosh−1
Արեատանգենս	arth	artanh, tanh−1
Արեակոտանգենս	arcth	arcotanh, cotanh−1
Արեասեկանս	arsch, arsech	arsech, sech−1
Արեակոսեկանս	arcsch	arcsch, csch−1

Կոմպլեքսային հարթության մեջ ֆունկցիայի գլխավոր արժեքները կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևերով․

• արեասինուս

$\mathrm{arsh}z=\ln (z+\sqrt{z^2+1});$

• արեակոսինուս

$\mathrm{arch}z=\ln (z+\sqrt{z+1}\sqrt{z-1});$

• արեատնգենս

$\mathrm{arth}z=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+z}{1-z}\right);$

• արեակոտանգենս

$\mathrm{arcth}z=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{z+1}{z-1}\right);$

• արեասեկանս

$\mathrm{arsech}z=\ln (\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z}+1}\sqrt{\frac{1}{z}-1});$

• արեակոսեկանս

$\mathrm{arcsch}z=\ln (\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}).$

Քառակուսի արմատները այս բանաձևերում հանդիսանում են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքները։ Z կոմպլեքս թիվը, եթե ներկայացնենք որպես $z=r{e}^{i\phi }$, երբ $-\pi <\phi \le \pi$), իսկ լոգարիթմական ֆունկցիաները հանդիսանում են կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաներ, ապա կարող ենք կատարել որոշակի պարզեցում։

Օրինակ՝$\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1},$որոնք միշտ չէ, որ ճիշտ են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքի համար։

Ներկայացում շարքով

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsh}x& =x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arch}x& =\ln 2x-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )\\ & =\ln 2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{(2n)},x>1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arth}x& =x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsch}x=\mathrm{arsh}\frac{1}{x}& =x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsech}x=\mathrm{arch}\frac{1}{x}& =\ln \frac{2}{x}-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )\\ & =\ln \frac{2}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{2n},0<x\le 1.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcth}x=\mathrm{arth}\frac{1}{x}& =x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1.\end{array}$

Ասիմպտոտիկ ներկայացումը Կաղապար:Math տրվում է բանաձևով․

$\mathrm{arsh}x=\ln 2x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{\left(2n-1\right)!!}{2n\left(2n\right)!!}\frac{1}{x^{2n}}.$

Ածանցիալներ

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsh}x& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arch}x& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arth}x& =\frac{1}{1-x^2}.\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcth}x& =\frac{1}{1-x^2}.\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =\frac{-1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}.\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =\frac{-1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.\\ \end{array}$

Իրական Կաղապար:Math-երի համար․

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =\frac{\mp 1}{x\sqrt{1-x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0.\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =\frac{\mp 1}{x\sqrt{1+x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0.\end{array}$

Ածանցման օրինակ, եթե Կաղապար:Math, ապա՝

$\frac{d\mathrm{arsh}x}{dx}=\frac{d\theta }{d\mathrm{sh}\theta }=\frac{1}{\mathrm{ch}\theta }=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$

Հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցկիաների կոմբինացիա

$\begin{array}{cc}& \mathrm{sh}(\mathrm{arch}x)=\sqrt{x^2-1},|x|>1;\\ & \mathrm{sh}(\mathrm{arth}x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1;\\ & \mathrm{ch}(\mathrm{arsh}x)=\sqrt{1+x^2};\\ & \mathrm{ch}(\mathrm{arth}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1;\\ & \mathrm{th}(\mathrm{arsh}x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}};\\ & \mathrm{th}(\mathrm{arch}x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x},|x|>1.\end{array}$

Արտաքին հղումներ

• Inverse hyperbolic functions
• Inverse hyperbolic functions Կաղապար:Webarchive