Մեդիալ գործողություններ

Մեդիալ գործողությունները են կոչվում այն գործողությունները, որորնք բավարարում են $(x y) (z t) = (x z) (y t)$ նույնությանը։

Դիցուք $I \subseteq R$ որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ)։

Կասենք, որ $(\cdot) : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունը ինքնահամընկնող (իդեմպոտենտ) է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $x x = x$ : Կասենք, որ $(\cdot) : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունը տեղափոխական է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $x y = y x$ :

Եթե^[1] $\circ : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունը անընդհատ է և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, և տեղի ունի հետևյալ պայմանները՝

$(x \circ y) \circ (z \circ t) = (x \circ z) \circ (y \circ t)$ (Մեդիալություն)

$x \circ x = x$ (Ինքնահամընկնում)

$x \circ y = y \circ x$ (Տեղափոխականություն),

ապա գոյություն ունի $k : I \to R$ անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա այնպիսին, որ $x \circ y = k^{- 1} (\frac{k (x) + k (y)}{2})$ , որտեղ $k^{- 1} : k (I) \to I$ ֆունկցիան որոշվում է հետևյալ կերպ՝ $k^{- 1} (k (x)) = x, \forall x \in I$ :

Եթե $N : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, իդեմպոտենտ, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի $k : I \to R$ անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի $a, b \in R$ , $a + b = 1, a, b \neq 1$ իրական թվեր, որ $N (x, y) = k^{- 1} (a k (x) + b k (y))$ ։

Եթե $N : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի $k : I \to R$ անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի $a, b, c \in R, a b \neq 0$ իրական թվեր, որ $N (x, y) = k^{- 1} (a k (x) + b k (y) + c)$ ։

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԵԴԻԱԼ ԶՈՒՅԳԵՐ

Դիցուք $I \subseteq R$ ենթաբազմությունը որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ), իսկ $M, N : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունները որոշված են միևնույն $I$ բազմության վրա։ Կասենք, որ $M$ և $N$ երկտեղ գործողությունների $(M, N)$ զույգը մեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $N (M (x, y), M (z, t))) = M (N (x, z), N (y, t))$ ։

Դիցուք^[2] $M, N : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում, $M$ -ն ու $N$ -ն անընդհատ են և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների և $M$ -ը մեդիալ է։ Այդ դեպքում $N$ -ը ևս մեդիալ է։

Դիցուք^[2] $\cdot : I^{2} \to I$ կամայական երկտեղ գործողություն է։ Կասենք որ $\cdot$ գործողությունը նախամեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $(x y) (z x) = (x z) (y x)$ :

Դիցուք^[2] $\circ, \cdot : I^{2} \to I$ երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում այդ գործողությունները անընդհատ են, խիստ մոնոտոն և նախամեդիալ, իսկ $\circ$ գործողությունը ինքնահամընկնող է։ Այդ դեպքում $\circ$ և $\cdot$ գործողությունները մեդիալ են։

Ծանոթագրություններ

Կաղապար:Ծանցանկ

↑ Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Մաթեմատիկան բարձրագույն դպրոցում․ Հատոր 12 N 2-3 (16-23)

[1] Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными

[ReferenceA-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Մաթեմատիկան բարձրագույն դպրոցում․ Հատոր 12 N 2-3 (16-23)

[1]

[2]

Մեդիալ գործողություններ

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԵԴԻԱԼ ԶՈՒՅԳԵՐ

Ծանոթագրություններ

Նավարկման ցանկ

Որոնում