Շուռի անհավասարում

Մաթեմատիկայում Շուռիի անհավասարումը, որն անվանվել է ի պատիվ հրեա մաթեմատիկոս Եսա Շուռի, պնդում է, որ բոլոր x, y, z և t > 0 ոչ բացասական իրական թվերի համար ճիշտ է

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$

անհավասարումը, այն և միայն այն դեպքում, երբ x = y = z կամ դրանցից երկուսը հավասար են, իսկ մյուսը հավասար է զրոյի։ Երբ t-ն զույգ դրական ամբողջ թիվ է, անհավասարումը ճիշտ է բոլոր իրական x, y և z թվերի համար։

Երբ $t=1$, ստացվում է հայտնի մասնավոր դեպք.

$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$

Ապացույց

Քանի որ անհավասարումը սիմետրկ է $x,y,z$ նկատմամբ, կարող ենք ենթադրել, որ $x\ge y\ge z$։ Որից հետո

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$

անհավասարումը ակնհայտ ճիշտ է, քանի որ անհավասարման ձախ կողմի յուրաքանչյուր անդամ ոչ բացասական է։

Ընդհանրացում

Շուռի անվասարման ընդհանրացումը հետևյալն է.

Ենթադրենք տրված է $a,b$ և $c$ դրական իրական թվերը։ Եթե $(a,b,c)$ և $(x,y,z)$ եռյակները նմանապես դասավորված են, ապա ճիշտ է հետևյալ անհավասարումը.

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\ge 0$։

2007 թվականին ռումինիացի մաթեմատիկոս Վալենտին Վորնիկուն ցույց է տվել, որ գոյություն ունի անհավասարման ավելի ընդհանրացված տարբերակ.

Ենթադրենք $a,b,c,x,y,z\in ℝ$, որտեղ $a\ge b\ge c$, և կամ $x\ge y\ge z$, կամ $z\ge y\ge x$։ Եթե $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ և $f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$-ը ուռուցիկ է կամ մոնոտոն, ապա

$f(x)(a-b{)}^k(a-c{)}^k+f(y)(b-a{)}^k(b-c{)}^k+f(z)(c-a{)}^k(c-b{)}^k\ge 0$։

Այս անհավասարման մեջ x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r տեղադրելով ստանում ենք Շուռիի անհավասարումը։

Շուռիի անհավասարման նման անվասարում տեղի ունի հինգ փոփոխականի համար։ Ենթադրենք $x,y,z,v,t\in R$, այնպես որ $x,y,z,v,\ge 0$ և $t>0$, ապա

$x^t(x-y)(x-z)(x-v)+y^t(y-x)(y-z)(y-v)+z^t(z-x)(z-y)(z-v)+v^t(v-x)(v-y)(v-z)\ge 0$։