Տանգենսների թեորեմ

Տանգենսների թեորեմ, եռանկյան երկու անկյունների տանգենսները և այդ անկյունների դիմաց ընկած կողմերի երկարություններն իրար հետ կապող թեորեմ։

Չնայած նրան, որ տանգենսների թոերեմն այնպիսի լայն հայտնիություն չունի, ինչպես սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, բավականին օգտակար թեորեմա է, և կարող է կիրառվել այն դեպքերում, երբ հայտնի են եռանկյան երկու կողմերն ու մի անկյունը, կամ, ընդհակառակը, երկու անկյունը և մեկ կողմը։

Պատմություն

Տանգենսների թեորեմը գնդային անկյունների համար XIII դարում նկարագրել է պարսկական մաթեմատիկ Նասր ալ-Դին Թուսին (1201—1274), որը նաև իր հինգ տոմանոց «Տրակտատ լիարժեք քառանկյան մասին» աշխատության մեջ հարթ եռանկյունների համար ներկայացրել է սինուսների թեորեման։

Թեորեմն անվանում են նաև «Ռեգիոմոնտանի բանաձև», գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Յոհաննա Մյուլլերի պատվին, ով դուրս էր բերել այդ բանաձևը (Կաղապար:Lang-la): Մյուլլերին անվանեցին «Կյոնիգսբերժեց», գերմաներն՝ König՝ արքա, Berg՝ սար, իսկ լատիներեն «արքա» և «սար» ուղղական հովով՝ regis և montis: Այստեղից «Ռեգիոմոնտան»-ը Մյուլլերի լատինացված ազգանունն է։

Նկար 1. Եռանկյուն

Նկար 1-ում a, b, և c-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, α, β, և γ-ն համապատասխան կողմերի դիմաց ընկած անկյուներն են (դիմացի անկյունները)։ Տանգենսների թեորեմը պնդում է, որ

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha +\beta }{2}}:$

Ապացույց

Տանգենսների թեորեմը կարելի է ապացուցել սինուսների թեորեմի միջոցով.

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }:$

Թող՝

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta },$

որտեղից

$a=d\sin \alpha$

$b=d\sin \beta :$

Այստեղից հետևում է, որ

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }:$

Հայտնի եռանկյունաչափական նույնությունն օգտագործելով

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \frac{\alpha \pm \beta }{2}\cos \frac{\alpha \mp \beta }{2},$

ստանում ենք.

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }=\frac{2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha +\beta }{2}}:◼$

Երկու անկյունների սինուսների գումարի և տարբերության փոխարեն ապացույցի մեջ կարելի է կիրառել հետևյալ հայտնի նույնությունը.

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha \pm \beta }{2}=\frac{\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }$:

Մոլվեյդի բանաձևերի կիրառմամբ մեկ այլ ապացույց

• Մոլվեյդի բանաձևերն ունեն հետևյալ տեսքը

$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{A-B}{2}}{\sin \frac{C}{2}};$

$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{A-B}{2}}{\cos \frac{C}{2}}:$

որտեղ $A,B,C$-ն համապատասխան գագաթներով եռանկյան անկյուններն են և $a,b,c$-ն՝ համապատասխանաբար $B$ և $C$, $C$ և $A$, $A$ և $B$ գագաթների միջև ընկած կողմերի երկարությունները։

• Մասերի բաժանելով վերջին հավասարությունների աջ և ձախ մասերը և իրար հավասարեցնելով ստացված երկու արդյունքները, ունենում ենք.

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-B}{2}}:$

• Հաշվի առնելով, որ $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi -A-B}{2}=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}$, վերջնական ունենում ենք.

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-B}{2}},$

ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Տես նաև

• Եռանկյունների լուծում
• Կոսինուսների թեորեմ
• Կոտանգենսների թեորեմ
• Սինուսների թեորեմ
• Եռանկյունաչափական նույնություններ
• Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ