Տասնորդական լոգարիթմներ

Տասնորդական լոգարիթմի գրաֆիկը

Տասնորդական լոգարիթմը-դա լոգարիթմն է 10 հիմքով։ Այլ կերպ ասած $b$ թվի տասնորդական լոգարիթմ է կոչվում $10^x=b.$ հավասարման լուծումը։ $b$ թվի իրական տասնորդական լոգարիթմը գոյություն ունի, եթե $b$>0(կոմպլեքս տասնորդական լոգարիթմը գոյություն ունի ցանկացած $b$≠0համար)։ ISO 31-11 միջազգային ստանդարտով նշանակվում է $\lg b$։ օրինակներ

$\lg 1=0;\lg 10=1;\lg 100=2$

$\lg 1000000=6;\lg 0,1=-1;\lg 0,001=-3$

Միջազգային գրականության մեջ, երբեմն էլ որոշ հաշվիչների ստեղնաշարերի վրա կարելի է հանդիպել նաև $\log ,\mathrm{Log},\mathrm{Log10}$ նշանակումներին, ընդ որում առաջին երկուսը կարող են վերաբերվել նաև բնական լոգարիթմին։

Հանրահաշվական հատկություններ

Աղյուսակում ենթադրվում է, որ փոփոխականների բոլոր արժեքները դրական ենԿաղապար:Sfn

	Բանաձև	Օրինակ
Արտադրյալ	$\lg (xy)=\lg (x)+\lg (y)$	$\lg (10000)=\lg (100\cdot 100)=\lg (100)+\lg (100)=2+2=4$
Քանորդ	$\lg \left(\frac{x}{y}\right)=\lg (x)-\lg (y)$	$\lg \left(\frac{1}{1000}\right)=\lg (1)-\lg (1000)=0-3=-3$
Աստիճան	$\lg (x^p)=p\lg (x)$	$\lg (10000000)=\lg (10^7)=7\lg (10)=7$
Արմատ	$\lg \sqrt[p]{x}=\frac{\lg (x)}{p}$	$\lg \sqrt{1000}=\frac{1}{2}\lg 1000=\frac{3}{2}=1,5$

Այն դեպքերում, երբ հնարավոր են փոփոխականի բացասական թույլատրելի արժեքներ, ապա արտադրյալը և քանորդը կներկայացվեն։ $\lg |xy|=\lg (|x|)+\lg (|y|),$

$\lg \left|\frac{x}{y}\right|=\lg (|x|)-\lg (|y|),$

Ցանկացած թվով արտադրիչների դեպքում։ $\lg (x_1{x}_2\dots x_n)=\lg (x_1)+\lg (x_2)+\dots +\lg (x_n)$

Բնական և տասնորդական լոգարիթմների կապը՝ $\ln x\approx 2,30259\lg x;\lg x\approx 0,43429\ln x$Կաղապար:Sfn։ Լոգրիթմի նշանը կախված է լոգարիթմվող թվից․ եթե այն մեծ է 1-ից, ապա լոգարիթմը դրական է։ Եթե այն գտնվում է (0;1)միջակայքւմ, ապա լոգարիթմը բացասական է։Օրինակ․

$\lg 0,012=\lg (10^{-2}\times 1,2)=-2+\lg 1,2\approx -2+0,079181=-1,920819$։

Տասնորդական լոգարիթմական ֆունկցիա

Լոգրիթմական ֆունկցիա է կոչվում $y=\lg x.$ բանաձևով տրվող ֆունկցիան, որը որոշված է ցանկացած $x>0$ արժեքների համար։Արժեքների տիրույթն է $E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը անվանում են լագարիթմական կոր։ Ֆունկցիան մոնոտոն աճող է, անընդհատ և դիֆերենցելի իր որոշման տիրույթում։ Ածանցյալը տրվում է

$\frac{d}{dx}\lg x=\frac{\lg e}{x}$ բանաձևով։

$(x=0)$ հորիզոնական առանցքը հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ $\underset{x\to 0+0}{\lim }\lg x=-\mathrm{\infty }$։

Կիրառությունը

Տասնորդական լոգարիթմական քանոն Լոգարիթմական քանոն

Տասնորդական լոգարիթմները կիրառովում էին նույնիսկ նախքան 1970-ական թվականներին կոմպակտ էլեկտրոնային հաշվիչների հայտանգործումը։ Նրանք հնարավորություն էին տալիս պարզեցնել ու հեշտացնել հաշվարկները․ արտադրյալը փոխարինելով գումարով, քանորդը՝ տարբերությամբ։ Նման կերպ հեշտացնում էին աստիճան բարձրացնելը և արմատ հանելը։ հեշտ է որոշել նաև $x$ թվի լոգրիթմի ամբողջ մասը՝ $[\lg x]$։

• եթե $x$≥1, ապա $[\lg x]$-ը 1-ով փոքր է $[x]$-ից
• եթե 0<$x$<1, ապա $lgx$-ին ամենամոտ թիվը հավասար է $x$ թվի ընդհանուր զրոների քանակին մինչև առաջին ոչ զրոյական նիշը։ Սա նշանակում է, որ տասնորդական լոգարիթմները հաշվելու համար բավարար է ունենալ լոգարիթմական աղյաուսակ 1-10 թվերի սահմաններումԿաղապար:Sfn։ Այդպիսի աղյուսակներ գոյություն են ունեցել դեռևս սկաժ 16-րդ դարից և անփոխարինելի են եղել գիտնականների ու ինժեներների համար։ Մեր օրերում տասնորդական լոգարիթմները փոխարինվում են բնականով։

Տասնորդական լոգարիթմները 5 × 10^Cթվերի համար

Թիվ	Լոգարիթմ	Բնութագրիչ	Մանտիս	Գրությունը
n	lg(n)	C	M = lg(n) − C
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	Կաղապար:Overline.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	Կաղապար:Overline.698 970...

Ուշադրություն պետք է դարձնել այն փաստին, որ բոլոր $n$ թվերի համար նույն $M$ է քանի որ

$\lg (n)=\lg (x\times 10^C)=\lg (x)+\lg \left(10^C\right)=\lg (x)+C$,

որտեղ $1<x<10$։

Պատմություն

Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակը 1-ից մինչև 1000 թվերի համար հրատարակել է 1617թվականին Օքսֆորդի համալսարանի պրոֆեսոր Հենրի Բրիգսը։ Այդ պատճառով էլ տասնորդական լոգարիթմները երբեմն անվանում են բրիգսյան։ Սակայն դրանց մեջ սխալներ հայտնաբերվեցին։ Առաջին ճշգրիտ աղյուսակը հայտնվեց 1852 թվականին Բեռլինում(Բրեմիկերի աղյուսակ)Կաղապար:Sfn. ։ Ռուսաստանում առաջին աղյուսակը հրատարակվեց Լ․ Մագնիցկու կողմից 1703 թվականին։ ԽՍՀՄ-ում թողարկվեցին մի քանի ձեռնարկներ․

1. Վ․Մ․ Բրադիս «Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ»
2. Գ․Վեգա «Տասանիշ լոգարիթմական աղյուսակներ»։

Գրականություն

1. Մ․Յա․ Վիգոդսկի «Տարրական մաթեմատիկայի տեղեկագիրք»,Մոսկվա 1978
2. Տ․ Կորն, Գ․ Կորն «Մաթեմատիկայի տեղեկագիրք»
3. Գ․Մ․ Ֆիխտենգոլց «Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ»
4. Մ․Ի․ Սկանավի,Վ․Վ․ Զայցեվ «Տարրական մաթեմատիկա»
5. Յ․Ուսպենսկի «Լոգարիթմների պատմություն»։