Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։

Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

$rot$ (ռուսական^[1] գրականության մեջ),
$curl$ (անգլալեզու գրականության մեջ^[2],առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ $\nabla \times 𝐅$ : Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ^[3]

rot 𝐅 \equiv \nabla \times 𝐅

:

Մաթեմատիկական բացատրություն

$𝐚$ վեկտորական դաշտի $rot 𝐚$ , որի պրոյեկցիա ${rot}_{𝐧} 𝐚$ -ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։

L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։

Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝

{rot}_{𝐧} 𝐚 = \lim_{Δ S \to 0} \frac{\oint_{L} 𝐚 \cdot 𝐝 𝐫}{Δ S}

:

Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք $𝐧$ -ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ^[4]։ Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

$rot (F_{x} 𝐞_{x} + F_{y} 𝐞_{y} + F_{z} 𝐞_{z}) =$

$= (\partial_{y} F_{z} - \partial_{z} F_{y}) 𝐞_{x} + (\partial_{z} F_{x} - \partial_{x} F_{z}) 𝐞_{y} + (\partial_{x} F_{y} - \partial_{y} F_{x}) 𝐞_{z} \equiv$

$\equiv (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) 𝐞_{x} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) 𝐞_{y} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) 𝐞_{z}$ կամ

$(rot 𝐅)_{x} = \partial_{y} F_{z} - \partial_{z} F_{y} \equiv \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}$

$(rot 𝐅)_{y} = \partial_{z} F_{x} - \partial_{x} F_{z} \equiv \frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}$

$(rot 𝐅)_{z} = \partial_{x} F_{y} - \partial_{y} F_{x} \equiv \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}$

Այստեղ F-ը $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ $𝐞_{x}, 𝐞_{y}, 𝐞_{z}$ -ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։ Հարմարության համար կարելի է գրել՝

rot 𝐅 = \nabla \times 𝐅 = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}) \times 𝐅 = | \begin{matrix} 𝐞_{x} & 𝐞_{y} & 𝐞_{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{matrix} |

:

Կապված բացատրություն

Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։

Ընդհանրացում

Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝

(rot 𝐅)_{12} = (\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} - \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}})

(rot 𝐅)_{13} = (\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}} - \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}})

(rot 𝐅)_{23} = (\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}} - \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}})

...

կամ

(rot 𝐅)_{m n} = \partial_{m} F_{n} - \partial_{n} F_{m} \equiv \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{m}} - \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{n}}

m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։

Վերջինը կարելի է գրել՝

rot 𝐅 = \nabla \land 𝐅

Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ^[5] թենզորային դաշտ է։

Հիմնական հատկություններ

Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից

Գծայնություն՝

rot (a 𝐅 + b 𝐆) = a rot 𝐅 + b rot 𝐆

ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a և b հաստատունների համար։

Եթե $φ$ -ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝

rot φ 𝐅 = grad φ \times 𝐅 + φ rot 𝐅,

կամ

\nabla \times (φ 𝐅) = (\nabla φ) \times 𝐅 + φ (\nabla \times 𝐅)

:

Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝

div rot 𝐅 = 0

կամ

\nabla \cdot (\nabla \times 𝐅) = 0

Ճիշտ է նաև հակառակը՝

$div 𝐅 = 0 \Rightarrow 𝐅 = rot 𝐆$ :

Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝

𝐅 = grad φ \Rightarrow rot 𝐅 = 0

: Ճիշտ է նաև հակառակը՝

$rot 𝐅 = 0 \Rightarrow 𝐅 = grad φ$ :

Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝

rot rot 𝐅 = grad div 𝐅 - Δ 𝐅

Ստոքսի թեորեմ

Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։

\oint_{\partial S} 𝐅 \cdot 𝐝 𝐥 = \int_{S} (rot 𝐅) \cdot 𝐝 𝐒

: Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով

Ընդհանուր դեպք

(r o t 𝐯)_{i} = ε_{i j k} g^{j m} \frac{\partial}{\partial x^{m}} v^{k}

և

(r o t 𝐯)^{n} = g^{n i} ε_{i j k} g^{j m} \frac{\partial}{\partial x^{m}} v^{k}

:

Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը

rot 𝐀 = rot (𝐪_{𝟏} A_{1} + 𝐪_{𝟐} A_{2} + 𝐪_{𝟑} A_{3}) =

= \frac{1}{H_{2} H_{3}} [\frac{\partial}{\partial q_{2}} (A_{3} H_{3}) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} (A_{2} H_{2})] 𝐪_{𝟏} +

+ \frac{1}{H_{3} H_{1}} [\frac{\partial}{\partial q_{3}} (A_{1} H_{1}) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} (A_{3} H_{3})] 𝐪_{𝟐} +

+ \frac{1}{H_{1} H_{2}} [\frac{\partial}{\partial q_{1}} (A_{2} H_{2}) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} (A_{1} H_{1})] 𝐪_{𝟑},

որտեղ H_i-ն Լամեի գործակիցն է։

Օրինակներ

Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը^[6]՝

F (x, y) = - x^{2} 𝐞_{y}

: Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝

Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝

\nabla \times 𝐅 = 0 𝐞_{x} + 0 𝐞_{y} + \frac{\partial}{\partial x} (- x^{2}) 𝐞_{z} = - 2 x 𝐞_{z}

Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝

Ընդհանուր օրինակներ

Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝

\nabla \times (𝐯 \times 𝐅) = [(\nabla \cdot 𝐅) + 𝐅 \cdot \nabla] 𝐯 - [(\nabla \cdot 𝐯) + 𝐯 \cdot \nabla] 𝐅 .

Եթե v-ն և ∇-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝

𝐯 \times (\nabla \times 𝐅) = \nabla_{F} (𝐯 \cdot 𝐅) - (𝐯 \cdot \nabla) 𝐅,

որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇_F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին։ Այլ օրինակ՝

∇ × [ ∇ × F ]:

Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝

\nabla \times (\nabla \times 𝐅) = \nabla (\nabla \cdot 𝐅) - \nabla^{2} 𝐅,

որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇:

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

Կաղապար:Ծանցանկ

Արտաքին հղումներ

Կաղապար:Արտաքին հղումներ

↑ Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.
↑ О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
↑ Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
↑ Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
↑ То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
↑ Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости $v_{y} (x)$ , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость $𝐯 (z)$ не будет уже константой, однако $\partial v_{y} / \partial z$ будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).

[1] Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.

[2] О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.

[3] Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.

[4] Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.

[5] То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.

[6] Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости $v_{y} (x)$ , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость $𝐯 (z)$ не будет уже константой, однако $\partial v_{y} / \partial z$ будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Բովանդակություն

Մաթեմատիկական բացատրություն

Կապված բացատրություն

Ընդհանրացում

Հիմնական հատկություններ

Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից

Ստոքսի թեորեմ

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով

Ընդհանուր դեպք

Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը

Օրինակներ

Ընդհանուր օրինակներ

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ

Նավարկման ցանկ

Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Մաթեմատիկական բացատրություն

Կապված բացատրություն

Ընդհանրացում

Հիմնական հատկություններ

Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից

Ստոքսի թեորեմ

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով

Ընդհանուր դեպք

Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը

Օրինակներ

Ընդհանուր օրինակներ

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ

Նավարկման ցանկ

Որոնում