Մեկ փոփոխականի քառակուսային ֆունկցիա

$f(x)=x^2-x-2$ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Քառակուսային ֆունկցիա, երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա։ $f(x)=a{x}^2+bx+c$ հավասարումը քառակուսային ֆունկցիա է և պարունակում է քառակուսի եռանդամ, որտեղ $a\ne 0$ և $a,b,c\in ℝ$ ։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։ Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կապված են պարաբոլի գագաթի հետ, որը որոշում է գրաֆիկի դիրքը և տեսքը։

Հիմնական հատկություններ

Քառակուսային $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են $a$ գործակցի արժեքից։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է քառակուսի ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները։

Հատկություն	$a>0$	$a<0$
Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ	$D(f)=ℝ$
Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ	$E(f)=[-\frac{b^2-4ac}{4a};+\mathrm{\infty })$	$E(f)=(-\mathrm{\infty };-\frac{b^2-4ac}{4a}]$
Ֆունկցիայի զույգությունը	Զույգ է $b=0$ դեպքում, կենտ է $b\ne 0$ դեպքում
Ֆունկցիայի պարբերականությունը	Ոչ պարբերական ֆունկցիա
Ֆունկցիայի անընդհատությունը	Անընդհատ է, խզման կետեր չկան
Ֆունկցիայի զրոները	$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$, եթե $D=b^2-4ac\ge 0$իրական զրոներ չկան, եթե $D=b^2-4ac<0$
Ֆունկցիայի սահմանը $x\to \pm \mathrm{\infty }$ դեպքում	$f(x)\to +\mathrm{\infty }$ , $x\to \pm \mathrm{\infty }$ դեպքում	$f(x)\to -\mathrm{\infty }$, $x\to \pm \mathrm{\infty }$ դեպքում
Ֆունկցիայի դիֆերենցելիություն	Ամենուր բազմակի դիֆերենցելի է$f^{\prime }(x)=2ax+b,f^{″}(x)=2a,f^{‴}(x)=0$
Էքստրեմումի կետերը (բացարջակ էքստրեմում)	$x_{min}=\frac{-b}{2a}$ (մինիմում)	$x_{max}=\frac{-b}{2a}$ (մաքսիմում)
Խիստ մոնոտոնության միջակայքերը	նվազում է $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a}]$աճում է $[-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$	աճում է $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{2a}]$նվազում է $[-\frac{b}{2a};+\mathrm{\infty })$
Ֆունկցիայի ուռուցիկությունը	Ամենուրեք գոգավոր ֆունկցիա	Ամենուրեք ուռուցիկ ֆունկցիա
Ճկման կետ	Ճկման կետերը բցակայում են
Ֆունկցիայի սահմանափակումները	Սահմանափակ ներքևից	Սահմանափակ վերևից
Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը	Բացակայում է	$y_{max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$
Ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը	$y_{min}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$	Բացակայում է
Ֆունկցիայի դրական արժեքները	$(-\mathrm{\infty };x_1)\cup (x_2;+\mathrm{\infty })$	$(x_1;x_2)$
Ֆունկցիայի բացասական արժեքները	$(x_1;x_2)$	$(-\mathrm{\infty };x_1)\cup (x_2;+\mathrm{\infty })$

Գործակիցների ազդեցությունը գրաֆիկի ձևափոխության վրա

$a$, $b$ и $c$ իրական թվերը քառակուսի ֆունկցիայի ընդհանուր արձանագրման մեջ կոչվում են նրա գործակիցներ։ Այս դեպքում a գործակիցը ընդունված է անվանել ավագ, իսկ c գործակիցը՝ ազատ։ Յուրաքանչյուր գործակցի փոփոխությունը հանգեցնում է պարաբոլի որոշակի փոխակերպումների։

a գործակցի արժեքով կարելի է դատել այն մասին, թե որ ուղղությամբ են ուղղված նրա ճյուղերը (վեր կամ վար) և գնահատել դրա ձգման կամ սեղմման աստիճանը օրդինատների առանցքի նկատմամբ։

Եթե $a>0$, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վեր, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է ներքևում։

Եթե $a<0$, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են ներքև, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է վերևում։

Եթե $|a|<1$, ապա պարաբոլը սեղմվում է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելիկ այն է և հարթ։

Եթե $|a|>1$, ապա պարաբոլը ձգվել է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելի նեղ է և կտրուկ։

a գործակցի արժեքի ազդեցությունը առավել պարզապես թույլ է տալիս ցույց պատկերացնել ֆունկցիայի տեսքը կախված գործակցի արժեքից, այսինքն, այն դեպքում, երբ b=0 և C=0, ապա$f(x)=a{x}^2$։ Այն դեպքում, երբ $a=0$ քառակուսի ֆունկցիան վերածվում է գծայինի։

c գործակիցը բնութագրում է պարաբոլայի զուգահեռ տեղափոխությունը օրդինատների առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ վեր կամ վար)։ Այս գործակցի արժեքը 1-ով բարձրացնելու դեպքում գրաֆիկը տեղափոխում է 1-ով։ Համապատասխանաբար, եթե դուք նվազեցնել գործակիցը պարաբոլը կտեղափոխվի ներքև։ Քանի որ, $b$ գործակիցը նույնպես ազդում է պարաբոլայի վերին դիրքի վրա, ապա միայն c գործակցի արժեքից չի կարելի դատել այն մասին, թե արդյոք գագաթը գտնվում է աբսցիսների առանցքից բարձր կամ ցածր։

Ցանկացած $f(x)=a{x}^2+bx+c$ տեսքի քառակուսային ֆունկցիայի ձևափոխումը $f(x)=a(x-x_0{)}^2+y_0$ տեսքի, թույլ է տալիս օգտվել երկանդամների կրճատ բազմապատկման բանաձևերից։

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

$=a\cdot (x^2+\frac{b}{a}\cdot x)+c$

$=a\cdot (x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c$

$=a\cdot (x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2}{4a}+c$

$=a\cdot {(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{-b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}$

$=a\cdot {(x-\frac{-b}{2a})}^2+\frac{-b^2+4ac}{4a}$

$=a\cdot {(x-x_0)}^2+y_0$, где $x_0=\frac{-b}{2a}$ и $y_0=\frac{-b^2+4ac}{4a}$

Ֆունկցիայի զրոներ

Քառակուսային ֆունկցիան երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա է, ուստի այն կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երկու զրոներ իրական տիրույթում։

Առանց համապատասխան քառակուսի հավասարման լուծման, քառակուսային ֆունկցիայի զրոները որոշելը հնարավոր է դիսկրիմինանտի հաշվման միջոցով։

Լրիվ դիսկրիմինանտ (որոշիչ)	Կրճատ դիսկրիմինանտ	Բերված դիսկրիմինանտ
$f(x)=a{x}^2+bx+c$	$f(x)=a{x}^2+bx+c$	$f(x)=x^2+px+q$
$D=b^2-4ac$	$D={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac$	$D={\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$

Անկախ դիսկրիմինանտի որոշմանձևից ճիշտ են հետևյալ պնդումները․

• Եթե $D=0$, ապա պարաբոլի գագաթի աբսցիսը կլինի ֆունկցիայի միակ զրոն։
• Եթե $D>0$, ապա ֆունկցիան ունի աբսցիսների առանցքի հետ երկու հատման կետ,այսինքն երկու զրո։
• Եթե $D<0$, ապա ֆունկցիան զրոներ չունի, քանի որ գրաֆիկը չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ։
• Օրինակ, $f(x)=2x^2+8x+5$ ֆունկցիայի համար՝

$D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0$.

Սա նշանակում է,որ տվյալ ֆունկցիան ունի երկու իրական զրոներ։

Դրսևորումներ գործնականում

• Ազատ անկում կատարող մարմնի բարձրության կախումը ժամանակից․
• Շրջանի չափերի կախումը իր գծային չափերից օրինակ՝ շառավղից։
• Հավասարաչափ փոփոխական շարժման տեղափոխության կախումը ժամանակից։

Տես նաև

• Քառակուսային եռանդամ
• Պարաբոլ

Գրականություն

• Կաղապար:Публикация
• Կաղապար:Публикация