Ծավալ

Չափիչ բաժակ, որի օգնությամբ կարելի է հեղուկ չափել

Ծավալ, մարմնի կամ նյութի զբաղեցրած տարածության քանակական բնութագիրը, երկրաչափական մարմինը բնորոշող հիմնական հասկացություններից։

Ծավալի հաշվումը

Ծավալի միավոր է համարվում միավոր կողով խորանարդի ծավալը։ Պարզագույն դեպքում մարմնի ծավալը հաշվվում է իր պարունակած միավոր խորանարդների քանակով։ Ավելի բարդ դեպքերում մարմնի ծավալը հաշվում են հետևյալ կերպ. A մարմինն ու իր շրջակայքը փոխուղղահայաց հարթություններով տրոհում են a երկարության կող ունեցող խորանարդների։ V (a)-ով նշանակենք բոլոր այն խորանարդների ծավալների գումարը, որոնք ամբողջությամբ ընդգրկված են A-ի մեջ, իսկ W (a)-ով՝ բոլոր այն խորանարդներինը, որոնք A-ի հետ ունեն գոնե մեկ ընդհանուր կետ։ a-ն փոքրացնելիս V (a)-ն աճում է, իսկ W (a)-ն՝ նվազում, ընդ որում՝ միշտ V(a)≤W(a)։ V (a)-ն և W (a)-ն ունեն նույն սահմանը (երբ a-ն ձգտում է 0-ի), որը և կոչվում է A մարմնի ծավալ։

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների համակարգում A մարմնի ծավալը հաշվվում է

$V=\underset{A}{\iiint }dxdydz$ և

$V=\underset{Z_1}{\overset{Z_2}{\int }}S(z)dz$ բանաձևերով, որտեղ առաջին ինտեգրալը տարածված է A մարմնով, իսկ երկրորդը՝ A-ի՝ Z առանցքի վրա ունեցած պրոյեկցիայով։

Ընդհանուր աֆինական կոորդինատական համակարգում ծավալը հաշվվում է

$V=\underset{A}{\iiint }\sqrt{g}d{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3$ բանաձևով, որտեղ $g$-ն $d{s}^2=g_{ij}d{x}^{1}d{x}^j$ հիմնական քառակուսային ձևի դիսկրիմինանտն է։

Ընդհանրացնելով այս բանաձևը՝ մուծվում է ո-չափանի ծավալի հասկացությունը.

$V=\underset{n\text{հատ}}{\underbrace{\int \int \dots \int }}\sqrt{g}d{x}_1\dots d{x}_n$

Չափի միավորները

Երկարության յուրաքանչյուր միավորից ստացվում է ծավալի համապատասխան միավոր, որն իրենից ներկայացնում է այդ միավորով կողով խորանարդ։ Օրինակ, խորանարդ սանտիմետրը (սմ³) կլինի այն խորանարդի ծավալը, որի կողերն ունեն 1 սմ երկարություն։
Չափերի միավորների SI միջազգային համակարգում ծավալի հիմնական միավորն է խորանարդ մետրը (մ³)։ Մետրական համակարգի մեջ է մտնում նաև լիտրը (Լ), որպես հեղուկների և սորուն նյութերի ծավալի միավոր։ Լիտրը 10 սանտիմետրանոց խորանարդի ծավալն է՝

1 լիտր=(10սմ)³=1000 խորանարդ սանտիմետր=0.001 խորանարդ մետր,

հետևաբար՝

1 խորանարդ մետր=1000 լիտր

Փոքր քանակի հեղուկների ծավալները հաճախ չափվում են միլիլիտրերով՝

1 միլիլիտր=0.001 լիտր=1 խորանարդ սանտիմետր։

Կան նաև ծավալի այլ ավանդական չափի միավորներ՝ թեյի գդալ, ճաշի գդալ, փինթ, գալոն, բարել, բուշել և այլն։

Երկրաչափական մարմինների ծավալների բանաձևեր

Խորանարդ	$a^3$ որտեղ $a$-ն կողի երկարությունն է։ _____________________________________________________________
Գլան	$\pi r^{2}h$ որտեղ $r$-ը հիմքի շառավիղն է, $h$-ը՝ բարձրությունը։ _____________________________________________________________
Պրիզմա	$B\cdot h$ որտեղ՝ $B$-ն հիմքի մակերեսն է, $h$-ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Բուրգ	$\frac{1}{3}Bh$ որտեղ՝ $B$-ն հիմքի մակերեսն է, $h$-ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Կոն	$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ որտեղ՝ $r$-ը հիմքի շառավիղն է, $h$-ը՝ բարձրությունը _____________________________________________________________
Էլիպսոիդ	$\frac{4}{3}\pi abc$ որտեղ՝ $a$-ն, $b$-ն, $c$-ն կիսաառանցքներն են։ _____________________________________________________________
Կանոնավոր քառանիստ	$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$ որտեղ՝ $a$-ն կողի երկարությունն է։ _____________________________________________________________
Զուգահեռանիստ	$abc\sqrt{K}$ $\begin{array}{c}K=1+2\cos (\alpha )\cos (\beta )\cos (\gamma )-{\cos }^2(\alpha )-{\cos }^2(\beta )-{\cos }^2(\gamma )\end{array}$ որտեղ՝ $a$-ն, $b$-ն, $c$-ն կողերի երկարություններն են, α-ն, β-ն, և γ-ն՝ կողերի ներսի անկյունները։

Միևնույն շառավղով և բարձրության կոնի, գնդի և գլանի ծավալների հարաբերակցությունը

r շառավղով և h բարձրությունով կոն, գունդ և գլան

Վերևում բերված բանաձևերը կարելի է օգտագործել ցույց տալու համար, որ միևնույն շառավիղ և բարձրություն ունեցող կոնի, գնդի և գլանի ծավալները հարաբերվում են ինչպես 1 ։ 2 ։ 3. Եթե շառավիղը r է, բարձրությունը՝ h, ապա կոնի ծավալը կլինի՝

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^2(2r)=(\frac{2}{3}\pi r^3)\times 1,$

գնդինը՝

$\frac{4}{3}\pi r^3=(\frac{2}{3}\pi r^3)\times 2,$

իսկ գլանինը՝

$\pi r^{2}h=\pi r^2(2r)=(\frac{2}{3}\pi r^3)\times 3.$

Գնդի և գլանի ծավալների 2 ։ 3 հարաբերությունը հայտնաբերել է Արքիմեդեսը։

Ինտեգրալ հաշվումը

Մարմինը	Ծավալի բանաձևը	Փոփոխական մեծությունները
Որևէ տարածական մարմին	$\underset{a}{\overset{b}{\int }}A(h)\mathrm{d}h$	$h$-ը որևէ չափն է, $A(h)$-ը $h$-ին ուղղահայաց կտրվածքի մակերեսի ֆունկցիան է ըստ $h$-ի երկայնքի։ $a$-ն և $b$-ն տարածական մարմնի ինտեգրալների սահմաններն են։ (Հաշվարկը կարելի է անել այնպիսի դեպքերում, եթե կտրվածքի մակերեսը հնարավոր է որոշել ըստ $h$-ի)։
Ցանկացած պտտական մարմին	$\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}({[R_O(x)]}^2-{[R_I(x)]}^2)\mathrm{d}x$	$R_O$-ը և $R_I$-ը համապատասխանաբար ներքին և արտաքին շառավիղներն արտահայտող ֆունկցիաներն են։