Էլիպսոիդ

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
հավասարումով էլիպսոիդի օրինակներ, գնդային մակերևույթ (վերևից, a=b=c=4),
պտտման էլիպսոիդ (ներքևից ձախ, a=b=5, c=3),
եռանցքային էլիպսոիդ (ներքևից աջ, a=4.5, b=6, c=3)

Պտտման էլիպսոիդ

Էլիպսոիդ, եռաչափ տարածության մեջ մակերևույթ, որը ստացվում է երեք փոխուղղահայաց առանցքների երկայնքով գնդի դեֆորմացիայով։ Էլիպսոիդի կանոնական հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով, որոնք համապատասխանում են էլիպսոիդի դեֆորմացիայի առանցքներին.

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$ որտեղ $a,b,c$-ն՝ կամայական դրական թվեր են։

A, b, c-ի մեծությունները կոչվում են էլիպսոիդի կիսաառանցքներ։ Էլիպսոիդն իրենից ներկայացնում է երկրորդ կարգի մակերեսների հնարավոր ձևերից մեկը։

Այն դեպքում, երբ կիսաառանցքների զույգն ունի նույն երկարությունը, էլիպսոիդը կարող է ստացվել էլիպսի իր առանցքներից մեկի շուրջ պտույտից։ Նման էլիպսոիդը անվանում են պտտման էլիպսոիդ։

Էլիպսոիդն Երկիր մակերևույթի ավելի վառ օրինակ է, քան՝ գունդը։

Էլիպսոիդի պարամետրական հավասարումն է.

$\begin{array}{cc}x& =a\sin (\theta )\cos (\phi ),\\ y& =b\sin (\theta )\sin (\phi ),\\ z& =c\cos (\theta ),\end{array}$

որտեղ

$0\le \theta \le \pi ,0\le \phi <2\pi :$

Պտտման էլիպսոիդի մակերևույթի մակերեսն է.

$S=4\pi b^2(1+\frac{2}{3}{e}^2+\frac{3}{5}{e}^4+\frac{4}{7}{e}^6+...+\frac{k+1}{2k+1}{e}^{2k}+...):$

Տարրական ֆունկցիաներով՝

$S_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}=2\pi a^2(1+\frac{1-e^2}{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}e)\text{,}{e}^2=1-\frac{c^2}{a^2}(c<a),$

$S_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}=2\pi a^2(1+\frac{c}{ae}{\sin }^{-1}e)\text{,}{e}^2=1-\frac{a^2}{c^2}(c>a),$

Oblate, prolate համապատասխանաբար սեղմում և ձգում։

Էլիպսոիդ է կոչվում նաև էլիպսոիդի մակերևույթով սահմանափակված մարմինը։ Էլիպսոիդի ծավալն է.

$V=\frac{4}{3}\pi abc:$

• 
  Ձգման պտտման էլիպսոիդ
• 
  Սեղման պտտման էլիպսոիդ
• 
  Սեղման պտտման էլիպսոիդն ու իր կազմիչ գիծը
• 
  Տարբեր երկարությամբ կիսառանցքներով եռառանցք էլիպսոիդի

Գրականություն

• Կաղապար:ВТ-ЭСБЕ
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф., Высшая математика. Первый семестр / интерактивный компьютерный учебник.