Ածանցման կանոններ

Այս հոդվածում ներկայացված է մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիայի ածանցման հիմնական կանոնները։

Ածանցման տարրական կանոններ

Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են՝ ներառյալ կոմպլեքս թվերի դեպքում։

Ածանցումը գծային է

Կամայական $f$ և $g$ ֆունկցիաների և $a$ և $b$ իրական թվերի համար $h(x)=af(x)+bg(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ $x$-ի հավասար է՝

$h^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x)\text{։}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

$\frac{d(af+bg)}{dx}=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}\text{։}$

Մասնավոր դեպքեր․

• Հաստատում արտադրիչի կանոն՝

$(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }$

• Գումարման կանոն՝

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

• Հանման կանոն՝

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$

Բազմապատկման կանոն

Կամայական f և g ֆունկցիաների համար h(x) = f(x) g(x) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ x-ի հավասար է՝

$h^{\prime }(x)=(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\text{։}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

$\frac{d(fg)}{dx}=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}.$

Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոն

$h(x)=f(g(x))$ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\text{։}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

$\frac{d}{dx}h(x)=\frac{d}{dz}f(z){|}_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),$

որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես

$\frac{dh(x)}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}\text{։}$

Դիֆերենցումը որպես $\text{D}$ արտապատկերում դիտարկելու դեպքում բանաձևը հնարավոր է ներկայացնել ավելի պարզ տեսքով՝

$[\text{D}(h\circ g){]}_x=[\text{D}h{]}_{g(x)}\cdot [\text{D}g{]}_x\text{։}$

Հակադարձ ֆունկցիայի օրենք

Եթե Կաղապար:Mvar ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան Կաղապար:Mvar-ն է, այսինքն՝ $g(f(x))=x$ և $f(g(y))=y,$ ապա

$g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ g}\text{։}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\text{։}$

Աստիճանի կանոններ, բազմանդամներ, քանորդներ և հակադարձի կանոն

Բազմանդամի ածանցիալ

Եթե$f(x)=x^r$, որտեղ $r\ne 0,$ ապա

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}\text{։}$

Երբ $r=1,$ սա ապա $f(x)=x,$ հետևաբար՝ $f^{\prime }(x)=1$։

Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոն

Կամայական չանհետացող Կաղապար:Mvar ֆունցիայի դեպքում $h(x)=\frac{1}{f(x)}$ ֆունցկայի ածանցյալն է՝

$h^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}$ որտեղ Կաղապար:Mvar-ը զրոյական չէ։

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

$\frac{d(1/f)}{dx}=-\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}\text{։}$

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։

Քանորդների կանոն

Եթե Կաղապար:Mvar և Կաղապար:Mvar ֆունկցիաների համար

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}$ որտեղ Կաղապար:Mvar-ը զրոյական չէ։

Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։

Ընդհանուր աստիճանային կանոն

Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական Կաղապար:Mvar և Կաղապար:Mvar ֆունկցիաների համար՝

$(f^g{)}^{\prime }=\left(e^{g\ln f}\right)=f^g(f^{\prime }\frac{g}{f}+g^{\prime }\ln f),$

եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են։

Հատուկ դեպքերից են՝

• եթե $f(x)=x^a$, ապա $f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$երբ Կաղապար:Mvar-ն տարբեր է զրոյից իսկ Կաղապար:Mvar-ը՝ դրական։
• Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ $g(x)=-1$։

Լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների ածանցյալներ

$\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right)=a{c}^{ax}\ln c,c>0$

այս հավասարումը ճիշտ է կամայական Կաղապար:Mvar-ի համար, բայց $c<0$ դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

$\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right)=a{e}^{ax}$

$\frac{d}{dx}\left({\log }_{c}x\right)=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1$

վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական Կաղապար:Mvar թիվի համար, բայց $c<0$ դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},x>0.$

$\frac{d}{dx}(\ln |x|)=\frac{1}{x}.$

$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)=x^x(1+\ln x).$

$\frac{d}{dx}(f(x{)}^{g(x)})=g(x)f(x{)}^{g(x)-1}\frac{df}{dx}+f(x{)}^{g(x)}\ln (f(x))\frac{dg}{dx},\text{եթե }f(x)>0,\text{ և եթե }\frac{df}{dx}\text{ և }\frac{dg}{dx}\text{ գոյություն ունեն։}$

$\frac{d}{dx}(f_1(x{)}^{f_2(x{)}^{{(...)}^{f_n(x)}}})=\left[\sum _{k=1}^n\frac{\partial }{\partial x_k}(f_1(x_1{)}^{f_2(x_2{)}^{{(...)}^{f_n(x_n)}}})\right]{|}_{x_1=x_2=...=x_n=x},\text{ եթե }{f}_{i<n}(x)>0\text{ և }$ $\frac{d{f}_i}{dx}\text{ գոյություն ունի։ }$

Լոգարիթմական ածանցյալ

Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$ եթե Կաղապար:Mvar-ը դրական է։

Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։ Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$	$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\tan x\sec x$	$(\mathrm{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\cot x\csc x$	$(\mathrm{arccsc}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝ $\arctan (y,x)$։ Այս ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են $[-\pi ,\pi ]$ միջակայքում և արտահայտում է $(x,y)$ կետի քառորդը։ Առաջին և չորրորդ քառորդների համար (այսինքն՝ $x>0$) $\arctan (y,x>0)=\arctan (y/x)$։ Այս ֆունկցայի մասնակի ածանցյալներն են՝

$\frac{\partial \arctan (y,x)}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}$, and $\frac{\partial \arctan (y,x)}{\partial x}=\frac{-y}{x^2+y^2}.$

Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցյալներ

$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arsinh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arcosh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\tanh x{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}x$	$(\mathrm{artanh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$
$(\coth x{)}^{\prime }=-{\mathrm{csch}}^{2}x$	$(\mathrm{arcoth}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$
$(\mathrm{sech}x{)}^{\prime }=-\tanh x\mathrm{sech}x$	$(\mathrm{arsech}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$(\mathrm{csch}x{)}^{\prime }=-\coth x\mathrm{csch}x$	$(\mathrm{arcsch}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

Հատուկ ֆունկցիաների ածանցյալներ

Գամմա ֆունկցիա $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$ ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\ln tdt$ $=\mathrm{\Gamma }(x)(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{x+n})-\frac{1}{x})$ $=\mathrm{\Gamma }(x)\psi (x)$ որտեղ $\psi (x)$-ն դիգամմա ֆունկցիան է

Ռիմանի զետա ֆունկցիա$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$ ${\zeta }^{\prime }(x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots$ $=-\sum _{p\text{ պարզ}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{ պարզ},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}$

Տես նաև

• Վեկտորական անալիզի բանաձևեր
• Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
• Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
• Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
• Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

Գրականություն

• Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, Կաղապար:ISBN.
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, Կաղապար:ISBN.
• Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, Կաղապար:ISBN
• NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, Կաղապար:ISBN.