Ամբողջ մաս

«Հատակ» ֆունկցիայի գրաֆիկ (թվերի ամբողջ մաս)

«Առաստաղ» ֆունկցիայի գրաֆիկ

Մաթեմատիկայի մեջ $x$ իրական թվի ամբողջ մասը $x$ –ի կլորացումն է մինչև մոտակա ամբողջը, դեպի փոքր կողմը։ Թվի ամբողջ մասը կոչվում է նաև անտյե (Կաղապար:Lang-fr), կամ հատակ (Կաղապար:Lang-en)։ Հատակի հետ զուգահեռ գոյություն ունի զույգ ֆունկցիա՝ առաստաղ (Կաղապար:Lang-en), $x$ կլորացում մինչև մոտակա ամբողջը՝ դեպի մեծ կողմը։

Նշանակությունն ու օրինակներ

$x$ թվի ամբողջ մասի նշանակման համար ($[x]$) քառակուսի փակագծերը առաջին անգամ օգտագործել է Գաուսը 1808 թվականին՝ քառակուսային փոխադարձության օրենքի իր ապացույցում։ Այդ նշանակումը համարվում էր ստանդարտ, մինչև Կենեթ Այվերսոնը իր «A Programming Language» գրքում, որը հրատարակվել էր 1962 թվականին, չառաջարկեց $x$ թվի կլորացումը մինչև մոտակա ամբողջը փոքր և մեծ կողմերով անվանել «հատակ» и «առաստաղ» $x$ և համապատասխանաբար նշանակել $\lfloor x\rfloor$ և $\lceil x\rceil$ ։ Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են երկու նշանակումներն էլ, $[x]$ և $\lfloor x\rfloor$, սակայն գոյություն ունի անցման տենդենց դեպի տերմինալոգիա և Այվերսոնի նշանակումներ։ Դրա պատճառներից մեկը «թվի ամբողջ մաս» հասկացության պոտենցիալ անորոշությունն է։ Օրինակ՝ 2,7 թվի ամբողջ մասը հավասար է 2, բայց հնարավոր է երկու կարծիք այն հարցում, թե ինչպես որոշել −2,7 թվի ամբողջ մասը։ Համաձայն այս հոդվածում տրված սահմանման $[x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3$, սակայն որոշ հաշվիչների վրա գոյություն ունի թվի ամբողջ մասի INT ֆունկցիա, բացասական թվերի համար որոշվող ինչպես INT(-x) = -INT(x), այնպես որ INT(-2,7) = −2։ Այվերսոնի տերմինալոգիայում բացակայում են հնարավոր անորոշությունները․

$\begin{array}{cc}\lfloor 2,7\rfloor =2,& \lfloor -2,7\rfloor =-3,\\ \lceil 2,7\rceil =3,& \lceil -2,7\rceil =-2\end{array}$

Սահմանում

$\lfloor \cdot \rfloor :x\mapsto \lfloor x\rfloor$ հատակ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենամեծ ամբողջ, փոքր կամ հավասար $x$․

$\lfloor x\rfloor =\max \{n\in \mathbb{Z}\mid n⩽x\}$

$\lceil \cdot \rceil :x\mapsto \lceil x\rceil$ առաստաղ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենափոքր ամբողջ, մեծ կամ հավասար $x$․

$\lceil x\rceil =\min \{n\in \mathbb{Z}\mid n⩾x\}$

Այդ սահմանումները էկվիվալենտ են հետևյալ անհավասարություններին (որտեղ n–ը ամբողջ թիվ է)․

$\begin{array}{ccccc}\lfloor x\rfloor =n& ⟺& n⩽x<n+1& ⟺& x-1<n⩽x\\ \lceil x\rceil =n& ⟺& n-1<x⩽n& ⟺& x⩽n<x+1.\end{array}$

Հատկություններ

Ներքևում գրված բանաձևերում $x$ և $y$ տառերով նշանակված են իրական թվերը, իսկ $n$ և $m$ տառերով՝ ամբողջները։ 

Հատակն ու առաստաղը ինչպես իրական փոփոխականով ֆունկցիաներ

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմությունը արտապատկերում են ամբողջ թվերի բազմության մեջ․

$\lfloor \cdot \rfloor :ℝ\to \mathbb{Z},\lceil \cdot \rceil :ℝ\to \mathbb{Z},$

Հատակն ու առաստաղը մասամբ անընդհատ ֆունկցիաներ են։

Հատակն ու առաստաղը խզումով ֆունկցիաներ են․ բոլոր ամբողջաթվային կետերում տեղի է ունենում առաջի սեռի խզումներ միավորի հավասար թռիչքով։

Այդ դեպքում հատակ ֆունկցիան հանդիսանում է․

• Կիսաանընդհատ վերևից և
• Անընդհատ աջից

Առաստաղ ֆունկցիան հանդիսանում է․

• Կիսաանընդատ ներքևից և
• Անընդհատ ձախից

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաների կապը

$x$ կամայական թվի համար ճիշտ է

$\lfloor x\rfloor ⩽x⩽\lceil x\rceil$ անհավասարությունը։

$x$ ամբողջ թվի համար հատակն ու առաստաղը համընկնում են․

$\lfloor x\rfloor =x⟺x\in \mathbb{Z}⟺\lceil x\rceil =x$

Եթե $x$ ամբողջ չէ, ապա առաստաղ ֆունցիայի արժեքը միավորով մեծ է հատակ ֆունկցիայի արժեքից․

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =\{\begin{array}{cc}1,& x\notin \mathbb{Z}\\ 0,& x\in \mathbb{Z}\end{array}$

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են երկու առանցքներից մեկը մյուսի արտապատկերումները։

$\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor$

Հատակ/առաստաղ՝ անհավասարություն

Իրական և ամբողջ թվերի միջև ցանկացած անհավասարություն հավասարազոր է իրական թվերի միջև հատակի և առաստաղի անհավասարությանը ․

$\begin{array}{cccccc}n⩽x& ⟺& n⩽\lfloor x\rfloor & x⩽n& ⟺& \lceil x\rceil ⩽n\\ n<x& ⟺& n<\lceil x\rceil & x<n& ⟺& \lfloor x\rfloor <n\end{array}$

Վերևի երկու անհավասարությունը հանդիսանում են հատակի և առաստաղի սահմանումների անմիջական հետևանքները, իսկ ներքևի երկուսը՝ վերևինների վերածումն է հակդարձից։

Հատակ/առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են մոնոտոն աճող ֆունկցիաներ․

$x⩽y\Rightarrow \lfloor x\rfloor ⩽\lfloor y\rfloor ,x⩽y\Rightarrow \lceil x\rceil ⩽\lceil y\rceil$

Հատակ/առաստաղ՝ գումարում

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка :

$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

$\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor ⩽\lfloor x+y\rfloor ⩽\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1⩽\lceil x+y\rceil ⩽\lceil x\rceil +\lceil y\rceil$

Հատակը/առաստաղը ֆունկցիայի նշանի տակ

Տեղի ունի հետևյալ առաջարկությունը․

Թող $f(x)$ –ը լինի անընդհատ մոնոտոն աճող ֆունկցիա, որոշված որոշակի շրջակայքում, օժտված

$f(x)\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \mathbb{Z}$ հատկությամբ։

Այդ դեպքում՝

$\lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil$

ամեն անգամ, երբ որոշված են $f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )$։

Մասնավորապես,

$\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\rfloor ,\lceil \frac{x+m}{n}\rceil =\lceil \frac{\lceil x\rceil +m}{n}\rceil$

եթե $m$ և $n$  ամբողջ թվեր են և $n>0$։

Հատակ/առաստաղ՝ գումարներ

Եթե $m,n$ ամբողջ թվեր են, $m>0$, ապա

$n=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor$

Ընդհանրապես, եթե $x$ կամայական իրական թիվ է, իսկ $m$՝ ամբողջ դրական, ապա 

$\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor x+\frac{m-1}{m}\rfloor$

Տեղի ունի առավել ընդհանուր հարաբերություն ․

$\sum _{0⩽k<m}\lfloor \frac{nk+x}{m}\rfloor =d\lfloor \frac{x}{d}\rfloor +\frac{(m-1)(n-1)}{2}+\frac{d-1}{2},d=(m,n)$

Քանի որ այդ հավասարության աջ մասը սիմետրիկ է $m$ և $n$ նկատմամբ, ապա ճշմարիտ է հետևյալ փոխադարձության օրենքը․

$\sum _{0⩽k<m}\lfloor \frac{nk+x}{m}\rfloor =\sum _{0⩽k<n}\lfloor \frac{mk+x}{n}\rfloor ,m,n>0$

Շարքով տրումը

Անտյե ֆունկցիան Հևիսայդի ֆունկցիայի օգնությամբ տրիվյալ ձևով ներկայացվում է շարքով․

$[x]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}n(\theta (x-n)-\theta (x-n-1)),$

որտեղ շարքի յուրաքանչյուր մաս առաջացնում է ֆունկցիայի ինքնատիպ աստիճաններ։ Այդ շարքը բացարձակ համընկնում է, սակայն իր մասերի սխալ ձևափոխումը կարող է բերել «պարզեցված» շարքի

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\theta (x-n),$

որը տրոհվում է։

Կիրառություն

Հատակ/առաստաղ ամբողջաթվային ֆունկցիաները լայն կիրառում ունեն դիսկրետ մաթեմատիկայում և թվերի տեսության մեջ։ Ներքևում բերված են այդ ֆունկցիաների կիրառության որոշ օրինակներ։

Թվի գրառման մեջ թվանշանների քանակը

Դրական ամբողջ թվի գրառման մեջ թվանշանների թիվը b հիմքով համրանքի դիրքային համակարգում հավասար է

$\lfloor {\log }_{b}n\rfloor +1$

Կլորացում

Կաղապար:Main $x$ մոտակա ամբողջ թիվը կարող է որոշվել

$(x)=\lfloor x+0,5\rfloor$ բանաձևով։

mod բինար գործողություն

Կաղապար:Main «Մոդուլով մնացորդ» գործողությունը նշանակենք $xmody$ , հատակ ֆունկցիայի միջոցով կարող է որոշվել հետևյալ կերպ։ Եթե $x,y$  կամայական իրական թվեր են և $y\ne 0$, ապա $x$–ը $y$–ի վրա բաժանելիս թերի մասնավորը հավասար է

$\lfloor x/y\rfloor$,

իսկ մնացորդը՝

$xmody=x-y\lfloor x/y\rfloor$

Կոտորակային մաս

Կաղապար:Main $x$ իրական թվի կոտորակային մասն ըստ սահմանման հավասար է

$\{x\}=xmod1=x-\lfloor x\rfloor$

Միջակայքի ամբողջ թվերի քանակը

Պահանջվում է գտնել $\alpha$ և $\beta$ ծայրակետերով փակ միջակայքում ամբողջ կետերի քանակը, այսինքն $n$ ամբողջ թվերի քանակը, որոնք բավարարում են

$\alpha ⩽n⩽\beta$ անհավասարությանը։

Հատակի/առաստաղի հատկությունների համաձայն այդ անհավասարությունը համարժեք է

$\lceil \alpha \rceil ⩽n⩽\lfloor \beta \rfloor$:

Դա հանդիսանում է $\lceil \alpha \rceil$ և $\lfloor \beta \rfloor$ ծայրակետերով փակ միջակայքի կետերի թիվը, հավասար՝ $\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1$: Անալոգ ձևով կարելի է հաշվել այլ տիպի միջակայքերի ամբողջ կետերի քանակը։ Արդյունքների հատումը բերված է ներքևում. .

$\mathrm{\#}\{n\in \mathbb{Z}:\alpha ⩽n⩽\beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1$

$\mathrm{\#}\{n\in \mathbb{Z}:\alpha ⩽n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil$

$\mathrm{\#}\{n\in \mathbb{Z}:\alpha <n⩽\beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor$

$\mathrm{\#}\{n\in \mathbb{Z}:\alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1$

($\mathrm{\#}M$ -ով նշանակված է $M$ բազմության հզորությունը)։

Առաջին երեք արդյունքները ճշմարիտ են բոլոր $\alpha ⩽\beta$ համար, իսկ չորորդը՝ միայն $\alpha <\beta$ դեպքում։

Սպեկտրի մասին Ռելեի թեորեմը

Թող $\alpha$ և $\beta$ լինեն իռացիոնալ դրական թվեր լինեն, կապված

$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=1.$ հարաբերությամբ։

Այդ դեպքում թվերի շարքում

$\lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\dots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\dots$

յուրաքանչյուր բնական $n\in \mathbb{N}$ ճշտությամբ հանդիպում է մեկ անգամ։ Այլ խոսքերով՝

$\{m\alpha \mid m\in \mathbb{N}\}$ և $\{m\beta \mid m\in \mathbb{N}\}$ հաջորդականությունները, որոնք կոչվում են

Բեթիի հաջորդականություն, կազմում են բնական շարքի պառակտումը։

Ինֆորմատիկայի մեջ

Ծրագրավորման լեզուներում

Շատ ծրագրավորման լեզուներում գոյություն ունի հատակ/առաստակ ֆունկցիաների floor(), ceil() ներկայացումը։

Էջատման համակարգում

TeX (и LaTeX) -ում հատակի/առաստաղի $\lfloor$, $\rfloor$, $\lceil$, $\rceil$ սիմվոլների համար գոյություն ունի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil հատուկ հրահանգները։ Քանի որ վիքի -ն օգտագործում է LaTeX մաթեմատիկական բանաձևերի հավաքագրման համար, ապա այս հոդվածում ևս օգտագործված են հենց այդ հրահանգները։

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք