Բիո-Սավար-Լապլասի օրենք

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը (նաև Բիո-Սավար-ի օրենքը ) ֆիզիկական օրենք է՝ հաստատուն էլեկտրական հոսանքով առաջացրած մագնիսական դաշտի ինդուկցիոն վեկտորը որոշելու համար։ Այն փորձնականորեն ստացվել է 1820 թ.-ին Բիոյի և Սավարի կողմից և ընդհանուր առմամբ ձևակերպվել է Լապլասի կողմից։ Լապլասը նաև ցույց տվեց, որ այս օրենքի օգնությամբ հնարավոր է որոշել շարժվող կետային լիցքի մագնիսական դաշտը (դիտարկելով մեկ լիցքավորված մասնիկի շարժումը հոսանքով)։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը մագնիտոստատիկայի մեջ կատարում է նույն դերը, ինչ էլեկտրաստատիկայի մեջ՝ Կուլոնի օրենքը։ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է համարել մագնիտոստատիկայի հիմնական օրենքը՝ դրանից ստացվում են դրա մնացած արդյունքները։

Ժամանակակից ձևակերպմամբ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ավելի հաճախ դիտարկվում է հաստատուն էլեկտրական դաշտի դեպքում մագնիսական դաշտի համար Մաքսվելի երկու հավասարումների հետևանք, այսինքն՝ ժամանակակից ձևակերպմամբ, Մաքսվելի հավասարումները հանդիսանում են ավելի հիմնարար (նաև այն պատճառով, որ Բիո-Սավար-Լապլասի բանաձևը պարզապես չի կարելի ընդհանրացնել ժամանակի կախված դաշտերի ընդհանրացմամբ)։

Ըստ այդ օրենքի, տվյալ կետում ($M$) հոսանքակիր հաղորդչի $\mathrm{\Delta }l$ հատվածի առաջացրած մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ $\mathrm{\Delta }H=k\frac{I\mathrm{\Delta }lsin\theta }{r^2}$ հատվածով $I$ անցնող հոսանքի ուժն է ($\mathrm{\Delta }l$–ի համար որպես ուղղություն ընտրվում է հոսանքի ուղղությունը), $\theta$-ն՝ $\mathrm{\Delta }l$–ի և $r$ շառավիղ–վեկտորի կազմած անկյունը ($\mathrm{\Delta }l$<<$r$), $k$-ն՝ միավորների համակարգի ընտրությունից կախված համեմատականության գործակիցը։ $\mathrm{\Delta }H$ վեկտորն ուղղահայաց է $\mathrm{\Delta }l$–ով և $r$-ով տարած $P$ հարթությանը, իսկ նրա ուղղությունը որոշվում է խցանահանի կանոնով։ Հոսանքակիր հաղորդչի ստեղծած մագնիսական դաշտի արդյունարար լարվածությունը $(H)M$ կետում հավասար է հաղորդչի բոլոր $\mathrm{\Delta }l$ տարրերով պայմանավորված $\mathrm{\Delta }H$ մեծությունների վեկտորական գումարին։ Մասնավորապես, $d$ հեռավորության վրա ուղիղ հոսանքակիր հաղորդչի մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ $H=k2I/d,$ $R$ շառավղով շրջանային կոնտուրի կենտրոնում՝ $H=k\cdot 2\pi I/k$, կոնտուրի առանցքով կենտրոնից $d(d>>R)$ հեռավորության վրա՝ $H=k\cdot 2\pi R^{2}I/d^3$, իսկ $n$ գալարանի սոլենոիդի առանցքի վրա՝ $H=k\cdot 4\pi nI$։ Բիո-Սավարի օրենքն արտահայտող բանաձևով կարելի է հաշվել նաև $\mathrm{\Delta }B$ մագնիսական ինդուկցիան։

CGS համակարգի միավորներով հաշվելիս $\mathrm{\Delta }H$-ը պետք է բազմապատկել $\mu$ մագնիսական թափանցելիությամբ, իսկ SI համակարգի միավորներով հաշվելիս, $\mu$–ից բացի՝ նաև վակուումի ${\mu }_0$ մագնիսական թափանցելիությամբ (${\mu }_0=4\pi 10^{-7}$ հն/մ)։

Կոնտուրով հոսող հոսանքի համար

Դիցուք, $I$ անընդհատ հոսանքը հոսում է $\gamma$ կոնտուրով, որը գտնվում է վակուումում։ Եթե ${𝐫}_0$ կետն է, որի նկատմամբ դիտարկվում է դաշտը, ապա մագնիսական դաշտի ինդուկցիան այդ կետում արտահայտվում է ինտեգրալով`

$𝐁({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{I[d𝐫\times ({𝐫}_0-𝐫)]}{|{𝐫}_0-𝐫{|}^3}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{I[d𝐫\times {𝐞}_{𝐫,{𝐫}_{𝐨}}]}{({𝐫}_0-𝐫{)}^2},$

Իսկ եթե որպես հաշվարկման կետ վերցնենք այն կետը, որտեղ պետք է գտնենք մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը,ապա բանաձևը հեշտանում է`

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I[\overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{r}]}{r^3}=\frac{I}{10^7}\frac{[\overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{r}]}{r^3},$

$d𝐁$ - ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, ուր գտնվում են $d𝐥\equiv d𝐫$ և $𝐫-{𝐫}_0$ վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է որոշել աջ պտուտակի կանոնով։ Միավորների միջազգային համակարգում $d𝐁$-ի վեկտորի մոդուլը որոշվում է`

$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^2}.$

Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

$𝐀({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{I(𝐫)𝐝𝐥}{|{𝐫}_0-𝐫|}.$

Բաշխված հոսանքների համար

Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուր հանդիսանում են բաշխվող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են վեկտորական դաշտի խտության հոսանքով` $j$, Բիո Սավարի օրենքը Միավորների միջազգային համակարգում կընդունի հետևյալ տեսքը`

$𝐁({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{[𝐣dV,{𝐫}_0-𝐫]}{|{𝐫}_0-𝐫{|}^3},$ ,

որտեղ j = j(r), dV - ծավալի տարրն է, իսկ ինտեգրումը տարածվում է ամբողջ միջակայքում, որտեղ j≠0.

Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

$𝐀({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐣(𝐫)dV}{|{𝐫}_0-𝐫|}.$

Շղթայի երկայնքով հոսանքի համար (բարակ հաղորդիչով)

Թող հաստատուն $I$ հոսանքն անցնի $\gamma$ կոնտուրով (հաղորդչի երկայնքով)՝ վակուումում, ${𝐫}_0$ - կետն է, որտեղ որոնվում է (դիտվում է) դաշտը, ապա այդ կետում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան արտահայտվում է ինտեգրալով ( Միավորների միջազգային համակարգում (SI) )

$𝐁({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{I[d𝐫\times ({𝐫}_0-𝐫)]}{|{𝐫}_0-𝐫{|}^3}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{I[d𝐫\times {𝐞}_{𝐫,{𝐫}_{𝐨}}]}{({𝐫}_0-𝐫{)}^2},$

որտեղ քառակուսի փակագծերով նշված են վեկտորական արտադրյալը, $r$ - $\gamma$ կոնտուրի կետերի դիրքն է , $dr$ - կոնտուրի տարրի վեկտորը (հոսանքն անցնում է դրա երկայնքով); ${\mu }_0$ - մագնիսական հաստատունը ; ${𝐞}_{𝐫,{𝐫}_{𝐨}}$ միավոր վեկտոր է, որն ուղղվում է կոնտուրի տարրից դիտարկման կետ։

• Սկզբունքորեն $\gamma$ կոնտուրը կարող է ճյուղավորված լինել, և իրենից ներկայացնել որքան ասես բարդ ցանցը։ Այդ դեպքում վերևում նշված արտահայտությունը պետք է հասկանալ տրված ցանցի բոլոր ճյուղերի գումար, ընդ որում յուրաքանչյուր ճյուղի համար այն ունի վերը նշված ինտեգրալի տեսքը (մասնավորապես յուրաքանչյուր ճյուղի համար կոնտուրը կարող է փակ չլինել)։
• Պարզագույն դեպքում (չճյուղավորված) կոնտուրով (մագնիսաստատիկ մոտավորության պայմանների կատարման դեպքում, այսինքն լիցքերի կուտակման բացակայության պարագայում), $I$ հոսանքը նույնն է կոնտուրի բոլոր տեղամասերում և կարելի է դուրս բերել ինտեգրալի նշանի տակից։ (Սա վերաբերում է շղթայի առանձին, և յուրաքանչյուր չճյուղավորված տեղամասին)։

Եթե մենք որպես հաշվարկման սկզբնակետ վերցնենք որևէ կետ, որում պետք է որոշվի մագնիսկա ինդուկցիան, ապա բանաձևը կպարզեցվի.

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I[\overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{r}]}{r^3}$

Որտեղ $\overrightarrow{r}$ - $I$ հոսանք անցնող հաղորդչի կորությունը ներկայացնող վեկտորն է , $r$ - $\overrightarrow{r}$-ի մոդուլը, $d\overrightarrow{B}$ - հաղորդչի $d\overrightarrow{r}$ տարրի կողմից ստեղծված մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը։

$d𝐁$-ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, որի մեջ են ընկած $d𝐥\equiv d𝐫$ և $𝐫-{𝐫}_0$ վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է գտնել աջ պտուտակի կանոնով. Պտուտակի գլխի պտտման ուղղությունը ցույց է տալիս $d𝐁$-ի ուղղությունը, եթե պտուտակի ծայրի առաջ շարժումը համապատասխանում է տարրի մեջ հոսանքի ուղղությանը։ Վեկտորային մոդուլ $d𝐁$-ն ( SI- համակարգում ) որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ ․

$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^2},$

Որտեղ $\alpha$ $𝐫-{𝐫}_0$ վեկտորների միջև ընկած անկյունն է (հաղորդչի տարրից սկսող մինչև դաշտը որոնվող կետը շառավղի վեկտորի միջոցով $d𝐥\equiv d𝐫$) և հաղորդչի $d𝐥\equiv d𝐫$ տարրով։

Վեկտորային պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով ( SI- ում )

$𝐀({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{𝐈(𝐫)𝐝𝐥}{|{𝐫}_0-𝐫|}.$

Բաշխվող հոսանքների համար

Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուրը հանդիսանում են բաշխվոող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են դաշտի խտության j վեկտորով, Բիո-Սավարի օրենքն ստանում է հետևյալ տեսքը (SI- ում ).

$𝐁({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{[𝐣dV,{𝐫}_0-𝐫]}{|{𝐫}_0-𝐫{|}^3},$

որտեղ j = j ( r ), d V- ը ծավալային տարր է, և ինտեգրումը կատարվում է ամբողջ տարածության մեջ (կամ դրա բոլոր մասրում, որտեղ j ≠ 0 ), r - համապատասխանում է ինտեգրման ընթացքում ընթացիկ կետին (d V տարրի դիրքը)։

Վեկտորային պետոնցիալը.

$𝐀({𝐫}_0)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐣(𝐫)dV}{|{𝐫}_0-𝐫|}.$

Հետևանքները

Չնայած ժամանակակից մոտեցման մեջ, որպես կանոն, Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ինքնին Մաքսվելի հավասարումների հետևանք է, այնուամենայնիվ, պատմականորեն դրա հայտնագործումը նախորդում էր Մաքսվելի հավասարումներին, ուստի, մագնիսաստատիկայի դեպքում Մաքսվելի հավասարումները կարելի է համարել որպես Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հետևանք։ Զուտ ֆորմալ տեսանկյունից, մագնիսաստատիկայի դեպքում, երկու մոտեցումներն էլ կարող են հավասար համարվել, այսինքն՝ այս իմաստով, դրանցից որևէ մեկը համարվում է սկզբնական, մյուսը՝ հետևանք, կախված աքսիոմատացման ընտրությունից, որը մագնիսաստատիկայի դեպքում կարող է լինել մեկը կամ մյուսը՝ հավասար ձևական իրավունքով և գրեթե հավասար հարմարավետությամբ։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հիմնական հետևանքներն են (վերոհիշյալ իմաստով) Մաքսվելի հավասարումները մագնիսաստատիկայի դեպքի համար

$\underset{S}{\oint }𝐁\cdot d𝐒=0$

- մագնիսական դաշտի համար Գաուսի թեորեմը (ընդհանուր հավասարության համար էլեկտրադինամիկայում այս հավասարումը մնում է անփոփոխ)

$\underset{\partial S}{\oint }𝐁\cdot d𝐥={\mu }_{0}I={\mu }_0\underset{S}{\int }𝐣\cdot d𝐒$

- մագնիսաստատիկայում մագնիսական դաշտի շրջանառության հավասարումը (այստեղ այն տրվում է SI համակարգում վակուումի դեպքում)։ Այս բանաձևը (և դրա ածանցումը Բիոտ-Սավար օրենքից) Ամպերայի թեորեմի բովանդակությունն է մագնիսական դաշտի շրջանառության վերաբերյալ։

Այս հավասարումների դիֆերենցիալ տեսքն է.

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐁=0,$

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐁={\mu }_0𝐣,$

որտեղ j հոսանքի խտությունն է (գրված է SI համակարգում, միավորների Գաուսյան համակարգում${\mu }_0$ հաստատունի փոխարեն գրվում է $\frac{4\pi }{c}.$ )

Ստացումը Մաքսվելի հավասարումներից

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է ստանալ ստացիոնար դաշտի համար Մաքսվելի հավասարումներից։ Այս դեպքում ժամանակի ածանցյալները հավասար են 0-ի, այնպես որ վակուումային դաշտի հավասարումները տեսք ունենան հետևյալ տեսքը ( CGS համակարգում)

$\mathrm{rot}𝐁=\frac{4\pi }{c}𝐣,$

$\mathrm{div}𝐁=0,$

$\mathrm{rot}𝐄=0,$

$\mathrm{div}𝐄=4\pi \rho ,$

Որտեղ $𝐣$ - տարածության մեջ հոսանքի խտությունն է։ Այս դեպքում էլեկտրական և մագնիսական դաշտերը անկախ են։ Եկեք օգտագործենք մագնիսական դաշտի վեկտորային պոտենցիալը (CGS համակարգում).

$𝐁=\mathrm{rot}𝐀.$

Հավասարումների անփոփոխությունը հնարավորություն է տալիս վեկտորային պոտենցիալի մեկ այլ պայման դնել.

$\mathrm{div}𝐀=0.$

Վեկտորի վերլուծության բանաձևով բացելով կրկնակի ռոտորը, մենք ստանում ենք Պուասոնի տիպի հավասարություն վեկտորի պոտենցիալի համար.

$\mathrm{\Delta }𝐀=-\frac{4\pi }{c}𝐣.$

Դրա մասնակի լուծումը տրված է Նյուտոնյան պոտենցիալի անալոգային ինտեգրալով.

$𝐀({𝐫}_0)=\frac{1}{c}\int \frac{𝐣(𝐫)}{|𝐫-{𝐫}_0|}dV.$

Այս դեպքում մագնիսական դաշտը որոշվում է ինտեգրալով (CGS համակարգում)

$𝐁=\mathrm{rot}𝐀=\frac{1}{c}\int [\mathrm{\nabla }\frac{1}{|𝐫-{𝐫}_0|},𝐣(𝐫)]dV=$

$=\frac{1}{c}\underset{\gamma }{\int }\frac{[𝐣(𝐫),{𝐫}_0-𝐫]}{|𝐫-{𝐫}_0{|}^3}dV$

ձևով նման է «Բիո - Սավար - Լապլաս»-ի օրենքին։ Այս համապատասխանությունը կարող է ճշգրիտ լինել, եթե մենք օգտագործում ենք ընդհանրացված ֆունկցիաներ և գրենք դատարկ տարածության մեջ հոսանքով օղակին համապատասխանող տարածական հոսանքի խտությունը։ Անցնելով ամբողջ տարածության ինտեգրումից դեպի շրջադարձի և դրան ուղղահայաց ուղղի երկայնքով կատարվող ինտեգրալի և հաշվի առնելով, որ

$𝐣dV=I𝐝𝐥$

մենք ստանում ենք Բիո-Սավար—Լապլասի օրենքը օղակաձև դաշտի համար։

Կիրառությունները

Թող պահանջվի գտնել մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը շատ բարակ $N$ փաթույթներով (բոլոր հերթերը հավաքված են մեկ շրջանակի մոտ) կոճի կենտրոնում, որի միջով անցնում է $I$ հոսանքը։ Գտնենք կծիկի մեկ փաթույթով ստեղծված մագնիսական ինդուկցիան։ Բանաձևից ունենք, որ

$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I[d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}]}{r^3}$

մենք ստանում ենք մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը՝

$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^2},$

Որտեղ $r$ - կոճի շառավիղն է (այս դեպքում՝ հաստատուն), $\alpha$ -ն $\overrightarrow{r}$ (օղակի կենտրոնից դեպի հանգույցի տարրի շառավղի վեկտորը) և $d\overrightarrow{l}$ (հանգույցի տարր) - միջև ընկած անկյուննէ, որը հավասար է $90^{\circ }$։

Ինտեգրելով երկու կողմերն էլ, մենք ստանում ենք

$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^2}\int dl,$

Որտեղ $\int dl=2\pi r$ - կոճի հաղորդիչի բոլոր տարրերի երկարությունների գումարն է, այս դեպքում՝ շրջագիծը, ապա

$B={\mu }_0\frac{IN}{2r}.$

Քանի որ պարույրը պարունակում է $N$ փաթույթ, ապա մագնիսական ինդուկցիայի ընդհանուր մոդուլը կազմում է

$B={\mu }_0\frac{IN}{2r}.$

Գրականություն

• The law of Biot and Savart - The Feynman Lectures on Physics