Հաշվելի բազմություն

Մաթեմատիկայում, բազմությունը կոչվում է հաշվելի, եթե այն վերջավոր է կամ այն փոխմիարժեք համապատասխանություն ունի բնական թվերի բազմության հետԿաղապար:Efn։ Համարժեքորեն, բազմությունը հաշվելի է, եթե գոյություն ունի ինյեկցիա այդ բազմությունից դեպի բնական թվեր․ սա նշանակում է, որ բազմության յուրաքանչյուր անդամի համապատասխանում է եզակի բնական թիվ, կամ որ բազմության անդամները կարելի է մեկ-մեկ հաշվել՝ չնայած հաշվարկը կարող է երբեք չավարտվել, քանի որ անդամների քանակը անվերջ է։

Ավելի ֆորմալ սահմանմամբ, ընթադրելով հաշվելի ընտրության աքսիոմը, բազմությունը հաշվելի է, եթե դրա հզորությունը (բազմությունում անդամների քանակը) ավելի մեծ չէ, քան բնական թվերինը։ Անվերջ հաշվելի բազմությունները կոչվում են հաշվելի անվերջ բազմություններ։

Գեորգ Կանտորը ապացուցել է անհաշվելի բազմությունների գոյությունը (բազմություններ, որոնք հաշվելի չեն, օրինակ՝ իրական թվերի բազմությունը)։

Սահմանում

$S$ բազմությունը հաշվելի է, եթե՝

• Բազմության $|S|$ հզորությունը ավելի փոքր կամ հավասար է ${\mathrm{\aleph }}_0$-ին` $\mathbb{N}$ բնական թվերի հզորությանը։
• Գոյություն ունի ինյեկտիվ ֆունկիցա $S$-ից դեպի $\mathbb{N}$։
• $S$-ը դատարկ է կամ գոյություն ունի սյուրյեկցիա $\mathbb{N}$-ից դեպի $S$։
• $S$-ի և $\mathbb{N}$-ի որևէ ենթաբազմության մեջ գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն։
• $S$-ը կամ վերջավոր է ($|S|<{\mathrm{\aleph }}_0$) կամ հաշվելի անվերջ։

Այս բոլոր սահմանումները համարժեք են։

$S$ բազմությունը հաշվելի անվերջ է, եթե՝

• Բազմության $|S|$ հզորությունը հավասար է ${\mathrm{\aleph }}_0$-ի։
• Գոյություն ունի ինյեկցիա և սյուրյեկցիա (հետևաբար՝ բիյեկցիա) $S$-ի և $\mathbb{N}$-ի միջև։
• $S$-ը և $\mathbb{N}$-ը ունեն փոխմիարժեք համապատասխանություն։
• $S$-ի անդամները կարելի է դասավորել $a_0,a_1,a_2,\dots$ հաջորդականությամբ, որտեղ $a_i$-ը տարբեր է $a_j$-ից կամայական $i\ne j$-ի համար և $S$-ի յուրաքանչյուր անդամ գտնվում է հաջորդականությունում։

Բազմությունը կոչվում է անհաշվելի անվերջ, եթե այն հաշվելի չէ, այսինքն՝ բազմության հզորությունը մեծ է ${\mathrm{\aleph }}_0$-ից։