Միավորից n աստիճանի արմատներ

Հինգերորդ աստիճանի արմատ միավորից (հնգանկյան կողերը)

Միավորից n աստիճանի արմատներ, $x^n-1$ բազմանդամի կոմպլեքս արմատները, որտեղ $n⩾1$։ Այլ խոսքով, դա կոմպլեքս թիվ է, որի n-րդ աստիճանը 1 է։

Միավորի արմատները շատ են օգտագործվում մաթեմատիկայում, հատկապես թվերի տեսությունում, Ֆուրեի դիսկրետ փոփոխություններում, վերջնական ընդլայնման տեսությունում, քանոնի ու կարկինի օգնությամբ կառուցումներում և խմբերի գաղափարի մեջ։

Գաղափար

Կոմպլեքս միավորը ներկայացնենք եռանկյունաչափական տեսքով.

$1=\cos 0+i\sin 0$

Մուավրայի բանաձևից ստացվում է.

$u_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n},k=0,1,...,n-1$

որտեղ $u_k$-ը միավորից արմատներն են։

Միավորի արմատները կարող ենք ներկայացնել նաև ցուցչային տեսքով.

$u_k=e^{\frac{2\pi ki}{n}},k=0,1,...,n-1$

Այս բանաձևից հետևում է, որ միավորից արմատները միշտ $n$ են ու դրանք միշտ տարբեր են։

Հաշվարկ

Երկրաչափական հաշվարկ

• Ցանկացած արմատի բացարձակ արժեքը հավասար է 1։ Կոմպլեքս հարթության վրա միավորի արմատները առաջացնում են կանոնավոր բազմանկյան կողեր` ստեղծելով միավոր շրջանագիծ։ Մի կողմը միշտ հանդիսանում է $1+i0$ կոմպլեքս միավորը։
• Եթե $u_k$-ն` միավորի արմատը, համարվում է $\overline{u_k}$ թվի լծորդը, որեմն այդ թիվը նույնպես միավորի արմատ է։
• Քննարկենք M-ը, որը միավոր շրջանագծի վրա կամայական կետ է հանդիսանում։ Եթե հեռավորությունների գումարը դուրս է մնում M կետից, ապա միավորի բոլոր արմատները հավասար են 2n։

Հանրահաշվական հաշվարկ

• Միավորից արմատները իրենցից ներկայացնում են ամբողջ հանրահաշվական թվեր։
• Միավորից արմատները առաջացնում են բազմապատկման կոմուտատիվ խմբեր։ Մասնավորապես, ցանկացած ամբողջ աստիճանի արմատ միավորից նույնպես համարվում է արմատ միավորից։ Հակադարձ տարրը` այդ խմբի ցանկացած տարրի համար համարվում է լծորդ։ Խմբի չեզոք տարրերը համարվում են կոմպլեքս միավորներ։
• Միավորից արմատների խումբը ադիտիվ է ${\mathbb{Z}}_n$-ի հետ։ Այստեղից հետևում է, որ դրանք համարվում են ցիկլիկ խմբեր. պարզության համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած $u_k$ տարր, որտեղ $k$ ինդեքսը

փոխադարձաբար պարզ է $n$ թվի հետ.

• • Հետևանքներ.
    • $u_1$ միշտ համարվում է պարզ,
    • եթե $n$-ը պարզ թիվ է, ապա ցանկացած արմատի աստիճանը` բացի $\pm 1$-ից, կազմում է ողջ խումբը,
    • պարզ արմատների թիվը հավասար է $\phi (n)$, որտեղ $\phi$ ֆունկցիան Էյլերի ֆունկցիան է։
• Եթե $n>1$, ապա միավորից ցանկացած աստիճանի $u$ պարզ արամատը ունի հետևյալ բանաձևը.

$\sum _{k=0}^{n-1}{u}^k=\frac{u^n-1}{u-1}=0$

• $\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_k|=n(n>1)$

Միավորից քառակուսի արմատներ

Օրինակներ

Միավորից խորանարդ արմատներ.

$\{1;\frac{-1+i\sqrt{3}}{2};\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$

Միավորից 4-րդ աստիճանի արմատներ.

$\{1;+i;-1;-i\}$

Միավորից 6-րդ աստիճանի արմատներ

5-րդ աստիճանի արմատի համար գոյություն ունի 4 կարևոր տարր.

$\{e^{\frac{2\pi ik}{5}}|k\in \{1,2,3,4\}\}=\{\frac{u\sqrt{5}-1}{4}+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt{5}}{8}}i|u,v\in \{-1,1\}\}$

6-րդ աստիճանի համար օգտագործվող տարրերը երկուսն են.

$\{\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\}$

Տես նաև

• Շրջանային բազմանդամ

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Cite web

Արտաքին հղումներ

• Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.