Ֆունկցիայի համադրույթ

Ֆունկցիայի համադրույթ (կամ ֆունկցիայի կոմպոզիցիա, կամ բարդ ֆունկցիա), դա մեկ ֆունկցիայի կիրառումն է մյուսի արդյունքին։ $G$ և $F$ ֆունկցիաների կոմպոզիցիա են անվանում $G\circ F$, որը նշանակում է $G$ ֆունկցիայի օգտագործումը $F$ ֆունկցիայի արդյունքին, այսինքն $(G\circ F)(x)=G(F(x))$

Սահմանում

Թող $F:X\to Y$ և $G:F(X)\to Z$ — երկու ֆունկցիաներ են ($F(X)\subset Y$). Այս դեպքում նրանց կոմպոզիցիան նշանակում է $G\circ F:X\to Z$ ֆունկցիան, որոշված հետևյալ հավասարումով.

$(G\circ F)(x)=G(F(x)),x\in X.$

Կապակցված սահմանումներ

• «Բարդ ֆունկցիա» տերմինը կարող է օգտագործվել երկու ֆունկցիաների համադրույթների, այնուամենայնիվ, այն հաճախ օգտագործվում է այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի մի քանի փոփոխականներին բաժին է ընկնում միանգամից մի քանի ֆունկցիաների մեկ կամ մի քանի սկզբնական փոփոխականներ։ Օրինակ` բարդ կարելի է ասել հետևյալ տեսքի $G$ ֆունկցիային

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

որովհետև ինքը իրենից ներկայացնում է$F$ ֆունկցիա, որը արդյունքում ստանում է $u$ և $v$ ֆունկցիաների արդյունքները։

Կոմպոզիցիայի հատկությունները

• Կոմպոզիցիա ասոցիատիվություն։

  $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$

• Եթե $F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ — նույնական արտապատկերում է $X$-ի, այսինքն

  $F(x)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X(x)=x,\mathrm{\forall }x\in X,$

ապա

$G\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_X=G.$

• Եթե $G={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ — նույնական արտապատկերում $Y$-ի, այսինքն

  $G(y)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y(y)=y,\mathrm{\forall }y\in Y,$

ապա

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y\circ F=F.$

• Դիտարկենք հարթության բոլոր բիեկցիա բազմության $X$-ը և նշանակենք ${ℱ}_X$. Այսինքն, եթե $F\in {ℱ}_X$, ապա $F:X\to X$ — բիեկցիա է։ Այդ դեպքում ֆունկցիայի կոմպոզիցիան ${ℱ}_X$-ից հանդիսանում է Բինար օպերացիա, իսկ $({ℱ}_X,\circ )$ — խումբ։ ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ հանդիսանում է չեզօք տարր այդ խմբից։ Հակադարձ $F\in {ℱ}_X$ տարրին հանդիսանում է $F^{-1}\in {ℱ}_X$ — Հակադարձ ֆունկցիան.
  • $({ℱ}_X,\circ )$ խումբը, ընդհանրապես կոմուտատիվ չէ, այսինքն $F_1\circ F_2=F_2\circ F_1$.

Լրացուցիչ հատկություններ

• Թող $f:X\to Y$ ֆունկցիան ունի $a$ կետում սահման $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$, իսկ $g:f(X)\subset Y\to Z$ ֆունկցիան ունի $b$ կետում սահման $\underset{y\to b}{\lim }g(y)$. Այդ դեպքում, եթե գոյություն ունի $a$ կետին չպատկանող միջակայք, որի հատումը $X$ բազմանդամին արտապատկերում է $f:X\to Y$ ֆունկցիային $b$ կետին չպատկանող միջակայքին, ապա $a$ կետում գոյություն ունի սահման $g\circ f:X\to Z$ ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի և տեղի ունի հետևյալ հավասարումը. $\underset{x\to a}{\lim }g(f(x))=\underset{y\to b}{\lim }g(y).$
• Եթե $f:X\to Y$ ֆունկցիան ունի $a$ կետում սահման $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$, իսկ $g:f(X)\subset Y\to Z$ ֆունկցիան անընդհատ է $b$ կետում, ապա այդ $a$ կետում գոյություն ունի ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի սահման $g\circ f:X\to Z$ և տեղի ունի հավասարությունը. $\underset{x\to a}{\lim }g(f(x))=g(\underset{x\to a}{\lim }f(x))=g(b).$
• Կոմպոզիցիան անընդհատ ֆունկցիայի անընդհատ է։ Թող $(X,{𝒯}_X),(Y,{𝒯}_Y),(Z,{𝒯}_Z)$ — տոպոլոգիական հարթություն է։ Թող $f:X\to Y$ և $g:f(X)\subset Y\to Z$ — երկու ֆունկցիա են, $y_0=f(x_0)$, $f\in C(x_0)$ և $g\in C(y_0)$. Այդ դեպքում $g\circ f\in C(x_0)$.
• Կոմպոզիցիան դիֆերենցիալ ֆունկցիայի դիֆերենցելի է։ Թող $f,g:ℝ\to ℝ$, $y_0=f(x_0)$, $f\in 𝒟(x_0)$ և $g\in 𝒟(y_0)$. Այդ դեպքում $g\circ f\in 𝒟(x_0)$, և

$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(y_0)\cdot f^{\prime }(x_0)$.

Տես նաև

• Կոմբինատորային տրամաբանություն
• Լամբդա արտահայտություն
• Ֆունկցիոնալ քառակուսի արմատ
• Կոմպոզիցիայի ռանգ

Գրականություն

• ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ։ «Մաթեմատիկան դպրոցում» գիտամեթոդական ամսագիր № 1, 2 0 1 0 թ . — Գլխավոր խմբագիր Հ.Միքայելյան