sgn

y = sgn x ֆունկցիայի գրաֆիկը

Կաղապար:Math (սիգնում, Կաղապար:Lang-lat-նշան), մասնակի հաստատուն ֆունկցիա, իրական արգումնենտի համար։ Նշանակվում է՝ $\mathrm{sgn}x$։ Սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$

Ֆունկցիան տարրական չէ։ Հաճախ օգտագործվում է հետևյալ ներկայացումը․

$\mathrm{sgn}x=\frac{d}{dx}|x|$

Ընդ որում զրոյի մոդուլի ածանցյալը, որը սահմանված չէ, վերահաշվարկվում է ձախ և աջ համապատասխան ածանցյալների թվաբանական միջինով։

Ֆունկցիան օգտագործվում է ազդանշանների մշակման տեսության մեջ, մաթեմատիկական վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում, որտեղ անհրաժեշտ է տալ թվի նշանը։

Պատմություն և նշանակումներ

$\mathrm{sgn}x$ ֆունկցիան 1878 թվականին ներմուծեց Լեոպոլդ Կրոնեկերը, սկզբում նա այն այլ կերպ նշանակեց՝ $[x]$։ 1884 թվականին Կրոնեկերին անհրաժեշտ էր մի հոդվածում օգտագործել $\mathrm{sgn}$–ի հետ նաև «ամբողջ մաս»ի ցույց տվող ֆունկցիան, որը նույնպես նշվում է քառակուսի փակագծերում։ Խառնաշփոթից խուսափելու նպատակով Կրոնեկերը ներմուծեց $sgn\cdot x$ նշանակումը, հենց այդ գրությունն էլ (առանց կետի) ընդունվեց գիտության մեջ։ Երբեմն ֆունկցիան նշանակվում է՝ $\mathrm{sign}x$։

Ֆունկցիայի հատկությունները

• Որոշման տիրույթ՝ $ℝ$,
• Արժեքների տիրույթ՝ $\{-1;0;+1\}$,
• Որոշված է բոլոր արժեքների համար, բացի զրոյից,
• Ֆունկցիան կենտ չէ
• $x=0$ կետը հանդիսանում է առաջին կարգի խզման կետ է, քանի որ սահմանները աջից և ձախից համապատասխանաբար հավասար են ՝ $+1$ և $-1$։
• $|x|=\mathrm{sgn}x\cdot x$ և $x=\mathrm{sgn}x\cdot |x|$ $\mathrm{\forall }x\in ℝ$ համար։ Այլ կերպ ասած․
• $\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}$ при $x\ne 0$.
• $\frac{d}{dx}\mathrm{sgn}x=2\cdot \delta (x)$, որտեղ $\delta (x)$ — Դիրակ դելտայի ֆունկցիան է,
• $\mathrm{sgn}x\cdot \mathrm{sgn}y=\mathrm{sgn}(x\cdot y)$.
• $\mathrm{sgn}x=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin tx}{t}dt$.

Ֆունկցիայի ընդհանրացումը կոմպլեքս արգումենտի համար

$\mathrm{sgn}z=\{\begin{array}{cc}z/|z|,& z\ne 0\\ 0,& z=0\end{array}$

Ֆունկցիայի նշված ներկայացումը հնարավորություն է տալիս կոմպլեքս արգումենտի համար ֆունկցիայի հնարավոր ընդհանրացումներից մեկը։ Ընդ որում $z/|z|=\cos \phi +i\sin \phi =e^{i\phi }$, где $\phi =\mathrm{Arg}z$ — կոմպլեքս թվի արգումենտ։ Երբ$z\ne 0$ $\mathrm{sgn}z$ ֆունկցիայի արդյունքը հանդիսանում է միավոր շառավղով շրջանագծի կետ, $z$–ին մոտ թիվ։ Այս ընդհանրացման իմաստը կայանում է նրանում, որ միավոր երկարությամբ շառավիղ–վեկտորի միջոցով ներկայացումը կոմպլեքս հարթության վրա ճիշտ չէ $z=0$ թվի համար։ Բևեռային կոորդինատների համար այդ նույն ուղղությունն է տալիս $\phi$ անկյունը։

$z=0$ թվին համապատասխան անորոշ ուղղությունը արտահայտվում է ֆունկցիայի զրոյական արժեքով։ Այսպիսով՝ signum ֆունկցիան որոշված է Haskell լեզվի կոմպլեքս թվերի ստանդարտ գրադարանում։

• Ֆունկցիայի ընդհանրացման մյուս տարբերակը նշանակվում է՝ $\mathrm{csgn}$, որը որոշվում է հետևյալ կերպ․

$\mathrm{csgn}(z)=\{\begin{array}{cc}1,& \mathrm{Re}z>0\\ -1,& \mathrm{Re}z<0\\ \mathrm{sgn}\mathrm{Im}z& \mathrm{Re}z=0\end{array}$

Այս ներկայացումը օգտագործվում է Mathcad и Maple հավելվածներում։

Գրականություն

• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга