Գնդոլորտային սեգմենտ

Գնդոլորտային սեգմենտի օրինակ (ներկված է կապույտ գույնով): Երկրորդ մասը նույնպես իրենից սեգմենտ է ներկայացնում։

Գնդոլորտային սեգմենտ, մակերևույթ, որևէ հարթությունով հատված գնդոլորտի մաս։ Հարթությունը գունդը բաժանում է 2 սեգմենտի։ Փոքրը կոչվում է գնդոլորտային շրջանԿաղապար:Sfn։ Եթե հարթությունը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա այդպիսի գնդային սեգմենտները կոչվում են կիսագնդեր։

Գնդային սեգմենտը, հիմք հանդիսացող շրջանով և գնդոլորտային սեգմենտով սահմանափակված մարմին է։

Մակերևույթի մակերես և ծավալ

Եթե սեգմենտի հիմքի շառավիղը հավասար է $a$, բարձրությունը $h$, ապա գնդային սեգմենտի ծավալը հավասար է.

$V=\frac{\pi h}{6}(3a^2+h^2)$,

սեգմենտի մակերևույթի մակերեսը հավասար է․

$A=2\pi rh$

կամ

$A=2\pi r^2(1-\cos \theta )$.

$a$, $h$ և $r$ պարամետրերը կապված են հետևյալ բանաձևերով․

$r^2=(r-h{)}^2+a^2=r^2+h^2-2rh+a^2$,

$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$.

Վերջին արտահայտությունը տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք․

$A=2\pi \frac{(a^2+h^2)}{2h}h=\pi (a^2+h^2)$.

Գնդի վերին (նկարում կապույտ) մասում $h=r-\sqrt{r^2-a^2}$, ներքին մասում $h=r+\sqrt{r^2-a^2}$, հետևապես, երկու մասերի համար էլ ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը․ $a=\sqrt{h(2r-h)}$ և կարելի է ուրիշ ծավալի բանաձև բերել․

$V=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$.

կամ պտտման մակերևութի ինտեգրման միջոցով․

$V=\underset{x}{\overset{r}{\int }}\pi (r^2-x^2)dx=\pi (\frac{2}{3}{r}^3-r^{2}x+\frac{1}{3}{x}^3)=\frac{\pi }{3}{r}^3(\cos (\theta )+2)(\cos (\theta )-1{)}^2$.

Օգտագործումը

Երկու հատվող գնդոլորտների հատում և միավորում

Կաղապար:Math և Կաղապար:Math ծավալներով երկու գնդոլորտների միավորված ծավալը․

$V=V^{(1)}-V^{(2)}$,

որտեղ

$V^{(1)}=\frac{4\pi }{3}{r}_1^3+\frac{4\pi }{3}{r}_2^3$

Հանդիսանում է 2 առանձին ծավալների գումարը․

$V^{(2)}=\frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)$

Եթե Կաղապար:Math գնդերի կենտրոնների հեռավորությունն է, ապա Կաղապար:Math և Կաղապար:Math մեծությունների բացառումը բերում է

$V^{(2)}=\frac{\pi }{12d}(r_1+r_2-d{)}^2(d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2{)}^2)$ արտահայտությանը։

Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերես

Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերեսը հանդիսանում է 2 համապատասխան գնդոլորտների սեգմենտների մակերեսների տարբերությունը։ r շառավղով գնդոլորտի և φ₁ և φ₂ լայնությունների համար, մակերեսը հավասար է։

$A=2\pi r^2|\sin {\varphi }_1-\sin {\varphi }_2|$.

Ընդհանրացում

Հիպերգնդոլորտի սեգմենտ

$n$-աչափ հիպերգնդոլորտի ծավալը, $h$ բարձրությամբ $r$ շառավղով $n$-աչափ էվկլիդեսյան տարածությունում որոշվում է․

$V=\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{r}^n}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\arccos \left(\frac{r-h}{r}\right)}{\int }}{\sin }^n(t)\mathrm{d}t$

որտեղ՝ $\mathrm{\Gamma }$ (գամմա ֆունկցիա) տրվում է $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$արտահայտությամբ։

Մակերևույթի $A$ մակերեսի բանաձևը կարող է գրվել $n$-աչափ գնդի մակերևույթի մակերեսի տերմիններով։

$A_n=2{\pi }^{n/2}/\mathrm{\Gamma }[\frac{n}{2}]$

$A=\frac{1}{2}{A}_n{r}^{n-1}{I}_{(2rh-h^2)/r^2}(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2})$,

որտեղ $0\le h\le r$.

Ճիշտ են նաև հետևյալ բանաձևերը․$A=A_n{p}_{n-2}(q),V=V_n{p}_n(q)$, որտեղ$q=1-h/r(0\le q\le 1),p_n(q)=(1-G_n(q)/G_n(1))/2$,

$G_n(q)=\underset{0}{\overset{q}{\int }}(1-t^2{)}^{(n-1)/2}dt$.

$n=2k+1$դեպքում

$G_n(q)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\frac{q^{2i+1}}{2i+1}$.

Ցույց է տրվում, որ $n\to \mathrm{\infty }$ և $q\sqrt{n}=\text{const }$դեպքում․ $p_n(q)\to 1-F(q\sqrt{n})$։

Գրականություն

• Կաղապար:Книга