Մյոբիուսի ֆունկցիա

Մյոբիուսի ֆունկցիա, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

Սահմանում

$\mu (n)$ որոշված է բոլոր $n$ բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված $n$ թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։

• $\mu (n)=1$, եթե $n$-ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
• $\mu (n)=-1$, եթե $n$-ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
• $\mu (n)=0$, եթե $n$-ը ազատ չէ քառակուսուց։

Ըստ սահմանման ընդունված է համարել $\mu (1)=1$։

50 առաջին կետերը

Հատկություններ

• Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած $a$ և $b$ փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$ հավասարությունը։
• $n$ ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։

$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1,& n=1,\\ 0,& n>1.\end{array}$

Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

• $\sum _{k=1}^n\mu (k)\left[\frac{n}{k}\right]=1$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (kn)}{k}=0,$ որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k)\ln k}{k}=-1$
• Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$.

Շարքը բացարձակ զուգամետ է $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$ ուղղի վրա, $\mathrm{R}\mathrm{e}s=1$ ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական, $1/2<\mathrm{R}\mathrm{e}s<1$ միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ $\mathrm{R}\mathrm{e}s<1/2$ դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$ ճիշտ է նաև․

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (pn)}{n^s}=\frac{p^s}{(1-p^s)\zeta (s)},$ որտեղ p — պարզ թիվ է։
• Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։

$M(n)=\sum _{k=1}^n\mu (k).$

• Ճշմարիտ են նաև․

$\frac{1}{x}\sum _{n\le x}\mu (n)=o(1)$ երբ $x\to \mathrm{\infty }$

$\frac{1}{x}\sum _{n\le x}|\mu (n)|=\frac{1}{\zeta (2)}+O(\frac{1}{\sqrt{x}})$,

Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է $1-1/\zeta (2)=0,3920729$, իսկ միավորների խտությունը՝ $1/2\zeta (2)=0,30396355$։

Մյոբիուսի հղում

Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձև

Երկու թվաբանական $f$ և $g$ ֆունկցիաների համար

$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$

այն և միայն այն դեպքում, երբ

$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)g\left(\frac{n}{d}\right)$։

Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևը

Երկու իրական $f(x)$ և $g(x)$ ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են $x⩾1$ համար

$g(x)=\sum _{n⩽x}f\left(\frac{x}{n}\right)$

այն և միայն այն դեպքում, երբ

$f(x)=\sum _{n⩽x}\mu (n)g\left(\frac{x}{n}\right)$։

Այստեղ $\sum _{n⩽x}$ գումարը մեկնաբանվում է որպես $\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$։

Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմը

Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն $\prec$ հարաբերությամբ։ Համարենք, որ $a\preccurlyeq b⟺a\prec b\vee a=b$։

Սահմանում

Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան որոշվում է

${\mu }_A^{*}(a,b)=\{\begin{array}{cc}1,& a=b\\ -\sum _{a\preccurlyeq z\prec b}{\mu }_A^{*}(a,z),& a\prec b\\ 0,& b\prec a\end{array}$ ռեկուրենտ առընչությամբ։

Հղման բանաձևը

Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ $A$ բազմության վրա և տեղի ունի $g(x)=\sum _{y\preccurlyeq x}f(y)$ պայմանը։

Ապա $f(x)=\sum _{y\preccurlyeq x}{\mu }_A^{*}(y,x)g(y)$։

Կապը Մյոբիուսի դասական ֆունկցիայի հետ

Եթե $A$ բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ $a\prec b$ հարաբերության փոխարեն $a\mid b\wedge a=b$ հարաբերությունը, ապա կստանանք ${\mu }_{\mathbb{N}}^{*}(a,b)=\mu \left(\frac{b}{a}\right)$, որտեղ $\mu$ - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։

Տես նաև

Դիրիխլեյի բանաձևը

Գրականություն

• Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։
• Կաղապար:Книга

Արտաքին հղումներ

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5Կաղապար:Չաշխատող արտաքին հղում, 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6Կաղապար:Չաշխատող արտաքին հղում, 2013.
• Обобщённая формула обращения Мёбиуса