Ռացիոնալ ֆունկցիա

Մեկ փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիայի օրինակ: $f(x)=\frac{x^2-3x-2}{x^2-4}$

Երկու փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիայի օրինակ

Ռացիոնալ ֆունկցիա, այն ֆունկցիան, որը ներկայացվում է այնպիսի կոտորակի տեսքով, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամ են։ Ռացիոնալ արտահայտությունը այն հանրահաշվական արտահայտություն է, որի ներկայացման մեջ չկան արմատներ։

Սահմանումներ

Ռացիոնալ ֆունկցիա կոչվում է $\frac{P_n(x_1,\dots ,x_n)}{Q_m(x_1,\dots ,x_m)}$ տեսքի ֆունկցիան, որտեղ  $P_n(x_1,\dots ,x_n)$,  $Q_m(x_1,\dots ,x_m)$ —ը ցանկացած քանակի պարամետր ունեցող բազմանդամներ են։

Ֆունկցիան գոյություն ունի փոփոխականի ցանկացած արժեքի դեպքում, բացի $Q_m(x_1,\dots ,x_m)$-ի զրո ընդունած արժեքների դեպքում։

Ռացիոնալ արտահայտություն

Ռացիոնալ արտահայտությունը հանրահաշվական արտահայտություն է, որը չի պարունակում արմատանշան։ Ալյ կերպ ասած, դա մեկ կամ մի քանի հանրահաշվական մեծություններ են (թվեր և փոփոխականներ), որոնք միմյանց հետ կապված են թվաբանական գործողության նշաններով՝ գումարումով, հանումով, բազմապատկումով, բաժանումով, ամբողջ ցուցիչով աստիճանի բարձրացումով, ինչպես նաև տարբեր տեսակի փակագծերով, օրինակ

• $x+x^{-1}$
• $\frac{x}{y-z^{-3}}$

Ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ ֆունկցիայի տեսքով։

Հատուկ դեպքեր

• Մեկ փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիան կոչվում է $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ տեսքի ֆունկցիա, որտեղ $P(x)$-ը և $Q(x)$-ը մեկ փոփոխականով բազմանդամներ են։
• Ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիան ներկայացվում է $\frac{P(x)}{1}$ տեսքով, որտեղ $x$-ը փոփոխականն է։
• Կոտորակառացիոնալ ֆունկցիա է կոչվում այն իրական պարամոտրերով ռացիոնալ ֆունկցիա, որի պարամետրերը չեն հանդիսանում ռացիոնալ թվեր։
  • Երկու գծային ֆունկցիաների հարաբերությունը կոչվում է կոտորակագծային ֆունկցիա։

Հատկություններ

• Ցանկացած արտահայտություն, որը ստացվում է $x_1,\dots ,x_n$ փոփոխականների և թվաբանական չորս նշանների կիրառմամբ ստանում ենք ռացիոնալ ֆունկցիա։
• Ռացիոնալ ֆունկցիաների բազմությունը հանրահաշվական գործողությունների և համադրման օպերատորի նկատմամբ փակ է, ինչպես նաև դաշտ է այն դեպքում, եթե բազմանդամի գործակիցները պատկանում են ինչ-որ դաշտ։
• Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող ենք ներկայացնել սովորական կոտորակների գումարի տեսքով, այն կիրառվում է ինտեգրման մեջ։

Սովորական կոտորակներ

Գոյություն ունեն կանոնավոր և անկանոն ռացիոնալ կոտորակներ, սովորական կոտորակների նման։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է կանոնավոր, եթե համարիչի կարգը փոքր է հայտարարինից և կոչվում է կանոնավոր և անկանոն՝ եթե համարիչինը մեծ է հայտարարինից։ Ցանկացած անկանոն կոտորակ կարող է ներկայացվել ամբողջ թվի և կանոնավոր կոտորակի գումարի տեսքով։

$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=P{\text{'}}_{n-m}(x)+\frac{P_{m-1}^{{\text{'}}^{\prime }}(x)}{Q_m(x)}$

Ցանկացած իրական գործակիցներով ռացիոնալ կոտորակ կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ կոտորակների գումարի տեսքով, որոնց հայտարարը հանդիսանում է $(x-a{)}^k$ -ն $(a$-ն  $Q(x))$-ի իրական արմատն է կամ $(x^2+px+q{)}^k$-ն (որտեղ $x^2+px+q$ չունի իրական արմատներ), ընդ որում $k$-ի աստիճանը մեծ չէ $Q(x)$ բազմանդամի համապատասխան բազմապատիկ արմատի աստիճանից։ Այս պնդման հիման վրա է ապացուցվում ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրելիության մասին թեորեմը։ Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող է ինտեգրվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այս թեորեմի միջոցով ռացիոնալ ֆունկցիաների դասը մաթեմատիկական անալիզի մեջ դառնում է նշանակալից։

Այս ամենի հետ է կապված Օստրոգրադսկու մեթոդը, որը 1844 թվականին առաջարկել է մաթեմատոկոս Միխայիլ Օստրոգրադսկին։

Տես նաև

• Ռացիոնալ թիվ
• Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ