Պոտենցիալի տեսություն

Պոտենցիալի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է սուբհարմոնիկ ֆունկցիաներ, ունակություններ, չափի ցրումներ՝ տարբեր տեսանկյուններից և այլ հարակից հարցեր։

Պոտենցիալ դաշտեր

Պոտենցիալի տեսությունը առաջացել է մաթեմատիկական ֆիզիկայի այն բաժնից, որն ուսումնասիրում է մարմինների, լիցքերի և այլ օբյեկտների առաջացրած ուժային դաշտեր։ Ուժային դաշտը (վեկտորական դաշտը)՝

$\overrightarrow{a}(x,y,z,)=[a_1(x,y,z),a_2(x,y,z),a_3(x,y,z)]$

կոչվում է պոտենցիալ դաշտ, եթե գոյության ունի այնպիսի սկալյար $v(x,y,z)$ ֆունկցիա (որն անվանում են a դաշտի պոտենցիալ ֆունկցիա) որ՝

$\frac{\partial v}{\partial x}=a_1$, $\frac{\partial v}{\partial y}=a_2$, $\frac{\partial v}{\partial z}=a_3$:

Պոտենցիալ դաշտեր են, մասնավորաբար, գրավիտացիոն դաշտը, էլեկտրաստատիկ դաշտը և այլն։ Օրինակ՝ $A=(a_1,a_2,a_3)$ կետում կենտրոնացված m զանգվածը իր շուրջը ստեղծում է ուժային դաշտ, որի պոտենցիալ ֆունկցիան (նյուտոնյան պոտենցիալ) ունի հետևյալ տեսքը՝

$V(B)=\frac{\gamma \cdot m}{|A-B|}$

որտեղ $B=(b_1,b_2,b_3)$, իսկ $|A-B|=\sqrt{(a_1-b_1{)}^2+(a_2-b_2{)}^2+(a_3-b_3{)}^2}$-ն $A$ և $B$ կետերի հեռավորությունն է, $\gamma$-ն՝ գրավիտացիոն հաստատունը։

Մի քանի կետերում կենտրոնացված զանգվածների ստեղծած ուժային դաշտի պոտենցիալը հավասար է առանձին զանգվածների ստեղծած ուժային դաշտերի պոտենցիալների գումարին։

Եթե զանգվածը բաշխված է $\rho$ խտությամբ, ապա դրա ստեղծած ուժային դաշտի ․ պոտենցիալ ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

$V(B)=\gamma \cdot \iiint \frac{\rho (A)dA}{|A-B|}$

Այն $V(B)$ ֆունկցիաները, որոնք կարելի է ներկայացնել վերը գրված տեսքով ($\rho$-ն ոչ բացասական ֆունկցիա է), սուբհարմոնիկ են․ այս է պատճառը, որ սուբհարմոնիկ ֆունկցիաներն ընդհանրապես պոտենցիալի տեսության ուսումնասիրության կարևորագույն օբյեկտներից են։

1960-ական թվականներին պարզվեց, որ պոտենցիալի տեսության որոշ բաժիններ («Մաքսիմումի սկզբունքին» բավարարող կորիզների հետազոտություններ) և հավանականությունների տեսության որոշ բաժիններ (Մարկովյան պրոցեսների և կիսախմբերի տեսություն) իրականում միասնական տեսություն են։

Կիրառություններ

Պոտենցիալի տեսությունն ունի մի շարք կիրառություններ, օրինակ՝ օգտակար հանածոների հայտնաբերման և դրանց քանակի գնահատման համար օգտվում են գրավիմետրիայի մեթոդից, որի տեսական հիմքը պոտենցիալի տեսության հակադարձ խնդիրն է. այն է, գտնել մարմնի ձևը և խտությունը՝ ունենալով մարմնի՝ իրենից դուրս ստեղծած դաշտի պոտենցիալը։