Բազմապատկման աղյուսակ

Բազմապատկման աղյուսակ, նույն ինքը՝ Պյութագորասի աղյուսակ, աղյուսակ, որտեղ տողերն ու սյունակներն արտադրիչներ են, իսկ աղյուսակի բջիջներում՝ դրանց արտադրյալն է։ Օգտագործվում է դպրոցականներին բազմապատկել սովորեցնելու նպատակով։

Տասնորդական թվային համակարգի բազմապատկման աղյուսակը ավանդաբար դասավանդվում է որպես տարրական թվաբանության անբաժանելի մաս ամբողջ աշխարհում, քանի որ այն հիմք է ստեղծում տասնորդական թվերի հետ թվաբանական գործողությունների համար։ Շատ ուսուցիչներ կարծում են, որ աղյուսակը պետք է հիշել մինչև 9 × 9^[1]։

Պատմություն

Հայտնի ամենահին բազմապատկման աղյուսակը հայտնաբերվել է Հին Բաբելոնում և մոտավորապես 4000 տարեկան է։ Այն հիմնված է վաթսունական թվային համակարգի վրա^[2]։ Բազմապատկման ամենահին տասնորդական աղյուսակը հայտնաբերվել է Հին Չինաստանում և թվագրվում է Մ. թ. ա. 305 թվականին։ Դրանք այսպես կոչված պատերազմող թագավորությունների բամբուկե տախտակներ են, ձեռք են բերվել 2008 թվականի հուլիսին հոնկոնգյան մշակութային մասունքների շուկայում և պահվում են Ցինխուայի համալսարանում․ ընդհանուր առմամբ՝ 2388 տախտակ, որոնցից ամենաերկարը 46 սմ է, իսկ ամենակարճը՝ 10 սմ^[3]։

Երբեմն բազմապատկման աղյուսակի գյուտը վերագրվում է հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասին, որի անունը աղյուսակը կրում է տարբեր լեզուներում, ներառյալ իսպաներենում^[4], իտալերենում, ռուսերենում, ֆրանսերենում, երբեմն անգլերենում^[5]։ Պահպանված հունական բազմապատկման ամենահին աղյուսակը գտնվում է մոմե ափսեի վրա, որը թվագրվում է 1-ին դարով և ներկայումս պահվում է Բրիտանական թանգարանում։

493 թվականին Վիկտոր Ակվիտանացին ստեղծել է 98 սյունակներից բաղկացած աղյուսակ, որը հռոմեական թվերով ներկայացնում էր 2-ից 50 թվերի բազմապատկման արդյունքը^[6]։

Մաթեմատիկոս Ջոն Լեսլին իր «Թվաբանության փիլիսոփայություն» (The Philosophy of Arithmetic) (1820) գրքում^[7] հրատարակել է մինչև 99 թվերի բազմապատկման աղյուսակը, որը թույլ է տալիս բազմապատկել թվանշանները զույգերով։ Նա նաև աշակերտներին խորհուրդ էր տալիս անգիր սովորել բազմապատկման աղյուսակը մինչև 25 × 25:

Ուսումնասիրում

Ժամանակին անգիր սովորած բազմապատկման աղյուսակի ներդրումը հեղափոխեց բանավոր և գրավոր հաշվումը։ Մինչ այդ օգտագործվել են միանիշ թվերի արտադրյալը հաշվարկելու տարբեր խորամանկ եղանակներ, որոնք մեծապես դանդաղեցրել են ամբողջ գործընթացը և ծառայել որպես լրացուցիչ սխալների աղբյուր։

Սովետական միությունում բազմապատկման աղյուսակը սովորաբար «հանձնարարվում էր ամռանը» 1-ին դասարանից հետո և ամրապնդվում էր 2-րդ դասարանում (8 տարեկան հասակում)։ Ռուսական դպրոցներում առավել հաճախ ուսուցանվում է 2-րդ դասարանում։ Անգլիական դպրոցական կրթության ստանդարտների համաձայն, բազմապատկման աղյուսակը պետք է սովորել 11 տարեկանում (նախատեսվում է խստացնել պահանջը մինչև 9 տարեկան)^[8]։

Սովորական ներկայացում

Շատ դպրոցներ օգտագործում են բազմապատկման 9 × 9 աղյուսակ, որը ցույց է տրված ստորև․

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Ինչպե՞ս գտնել արտադրյալը բազմապատկման աղյուսակից օգտվելով

$4 \cdot 8$ արտադրյալի արժեքը պարզելու համար, պետք է գտնել չորս թիվը ձախ սյունակում և ութը՝ վերին շարքում, այնուհետև պետք է տանել 4-ից հորիզոնական գիծ և 8-ից՝ ուղղահայաց։ Բջիջը, որի վրա գծերը հանդիպում են, հենց արտադրյալն է (այս դեպքում՝ 32):

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Կիրառում

Բացի բնական թվերը բազմապատկելու գործնական հմտություններ զարգացնելու համար դասական բազմապատկման աղյուսակի լայնորեն կիրառությունից, այն կարող է օգտագործվել որոշ մաթեմատիկական ապացույցներում, օրինակ՝ բնական թվերի խորանարդների գումարի բանաձևը կամ քառակուսիների գումարի համար նմանատիպ արտահայտություն ստանալիս^[9]։

Քելիի աղյուսակ

Ընդհանուր հանրահաշվի մեջ Քելիի աղյուսակը նկարագրում է վերջնական հանրահաշվական համակարգերի կառուցվածքը մեկ բինար գործողությամբ։ Անվանվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Արթուր Քելիի անունով։ Կարևոր նշանակություն ունի դիսկրետ մաթեմատիկայում, մասնավորապես՝ խմբերի տեսության մեջ, որտեղ որպես գործողություններ դիտարկվում են բազմապատկումն ու գումարումը։ Աղյուսակը թույլ է տալիս որոշել, թե արդյոք խումբը աբելյան է, գտնել խմբի կենտրոնը և հակադարձ տարրերը՝ այդ խմբի մյուս տարրերի հարաբերությամբ։

Բարձրագույն հանրահաշվում Քելիի աղյուսակները կարող են օգտագործվել նաև դաշտերում, օղակներում և հանրահաշվական այլ կառույցներում բինար գործողությունները որոշելու համար։ Դրանք նաև հարմար են հետևյալ կառույցներում գործողություններ իրականացնելիս։

Մոդուլյար թվաբանություն

Բնական թվի վրա բաժանումից մնացած բոլոր մնացորդները կազմում են օղակ, իսկ պարզ թվի վրա բաժանումից՝ դաշտ։ Սա պատկերվում է բազմապատկման աղյուսակներով։

Բազմապատկման աղյուսակը 8 մոդուլով հանման օղակում

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

Բազմապատկման աղյուսակը 5 մոդուլով հանման դաշտում

·	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

Կաղապար:Ծանցանկ

↑ Կաղապար:Citation.
↑ Կաղապար:Статья
↑ Կաղապար:Cite web
↑ Таблица умножения по-испански — ábaco pitagórico, то есть дословно — «пифагорова счётная таблица», см. в источнике: Կաղապար:Книга
↑ Например, в Կաղապար:Книга
↑ Կաղապար:Статья
↑ Կաղապար:Cite book
↑ Children must learn times tables by age nine… Կաղապար:Webarchive // Daily Mail, 17.12.2011
↑ Կաղապար:Книга

[1] Կաղապար:Citation.

[Qiu-2] Կաղապար:Статья

[3] Կաղապար:Cite web

[4] Таблица умножения по-испански — ábaco pitagórico, то есть дословно — «пифагорова счётная таблица», см. в источнике: Կաղապար:Книга

[5] Например, в Կաղապար:Книга

[6] Կաղապար:Статья

[7] Կաղապար:Cite book

[8] Children must learn times tables by age nine… Կաղապար:Webarchive // Daily Mail, 17.12.2011

[9] Կաղապար:Книга

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Բազմապատկման աղյուսակ

Բովանդակություն

Պատմություն

Ուսումնասիրում

Սովորական ներկայացում

Ինչպե՞ս գտնել արտադրյալը բազմապատկման աղյուսակից օգտվելով

Կիրառում

Քելիի աղյուսակ

Մոդուլյար թվաբանություն

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

Նավարկման ցանկ

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

Բազմապատկման աղյուսակ

Պատմություն

Ուսումնասիրում

Սովորական ներկայացում

Ինչպե՞ս գտնել արտադրյալը բազմապատկման աղյուսակից օգտվելով

Կիրառում

Քելիի աղյուսակ

Մոդուլյար թվաբանություն

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

Նավարկման ցանկ

Որոնում

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1