Ազատ էնտրոպիա

Ազատ էնտրոպիա, էնտրոպիկ թերմոդինամիկական պոտենցիալ, ազատ էներգիայի անալոգը։ Հայտնի է նաև Պլանկի կամ Մասսիո-Պլանկի պոտենցիալ (կամ ֆունկցիա) կամ հազվադեպ՝ ազատ տեղեկություն անունով։ Վիճակագրական մեխանիկայում ազատ էնտրոպիան հաճախ ի հայտ է գալիս որպես վիճակագրական գումարի լոգարիթմ։ Մասնավորապես Օնզագերի առնչությունները մշակվում են էնտրոպիկ պոտենցիալի տերմիններով։ Մաթեմատիկայում ազատ էնտրոպիան խիստ տարբեր բան է․ այն էնրոպիայի ընդհանրացումն է՝ սահմանված ազատ հավանականությամբ։

Ազատ էնտրոպիան առաջանում է էնտրոպիայի Լեժանդրի ձևափոխություններից։ Տարբեր պոտենցիալներ համապատասխանում են տարբեր սահմանափակումների, որոնց կարող է ենթարկվել համակարգը։

Օրինակներ

Ամենատարածված օրինակներն են՝

Անուն	Ֆունկցիա	Այլընտ․ ֆունկցիա	Բնական փոփոխականներ
Էնտրոպիա	$S=\frac{1}{T}U+\frac{P}{T}V-\sum _{i=1}^s\frac{{\mu }_i}{T}{N}_i$		$U,V,\{N_i\}$
Մասսիոյի պոտենցիալ \ Հելմհոլցի ազատ էնտրոպիա	$\mathrm{\Phi }=S-\frac{1}{T}U$	$=-\frac{A}{T}$	$\frac{1}{T},V,\{N_i\}$
Պլանկի պոտենցիալ \ Գիբսի ազատ էնտրոպիա	$\mathrm{\Xi }=\mathrm{\Phi }-\frac{P}{T}V$	$=-\frac{G}{T}$	$\frac{1}{T},\frac{P}{T},\{N_i\}$

որտեղ Կաղապար:Col-begin Կաղապար:Col-break

$S$-ը էնտրոպիան է,

$\mathrm{\Phi }$-ն՝ Մասսիոյի պոտենցիալը

$\mathrm{\Xi }$-ն Պլանկի պոտենցիալն է

$U$-ն՝ ներքին էներգիան

$T$-ն՝ ջերմաստիճանը

$P$-ն՝ ճնշումը

$V$-ն՝ ծավալը

$A$-ն՝ Հելմհոլցի ազատ էներգիան

$G$-ն՝ Գիբսի ազատ էներգիան

$N_i$-ն՝ i-րոդ քիմիական բաղադրիչը կազմող մասնիկների թիվը

${\mu }_i$-ն՝ i-րդ քիմիական բաղադրիչի քիմիական պոտենցիալը

$s$-ը՝ քիմիական բաղադրիչների թիվը

$i$-ն՝ $i$-րդ բաղադրիչը։

Նշենք, որ Մասսիոյի և Պլանկի տերմիններ կիրառությունը Մասսիո-Պլանկի պոտենցիալների համար ինչ-որ չափով երկիմաստ է և ոչ ճշգրիտ։ Մասնավորապես, Պլանկի պոտենցիալն ունի այլընտրանքային նշանակություն։ Էնտրոպիկ պոտենցիալի ամենաստանդարտ նշանակումը $\psi$-ն է, որը կիրառել են թե՛ Մաքս Պլանկը, թե՛ Շրյոդինգերը։ Գիբսը կիրառել է $\psi$-ն՝ նշանակելու համար ազատ էներգիան։ Ազատ էնտրոպիաները հայտնաբերել է ֆրանսիացի ինժեներ Ֆրանսուա Մասսիոն 1869 թվականին, և փաստորեն դրանով կանխատեսել է Գիբսի ազատ էներգիան (1875)։

Պոտենցիալների կախումը բնական փոփոխականներից

Էնտրոպիա

$S=S(U,V,\{N_i\})$

Ըստ լրիվ դիֆերենցիալի սահմանման՝

$dS=\frac{\partial S}{\partial U}dU+\frac{\partial S}{\partial V}dV+\sum _{i=1}^s\frac{\partial S}{\partial N_i}d{N}_i$։

Թերմոդինամիկական վիճակի հավասարումներից,

$dS=\frac{1}{T}dU+\frac{P}{T}dV+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i$։

Այստեղ դիֆերենցիալները բոլորը էքստենսիվ փոփոխականներ են, այնպես որ նրանք կարող են ինտեգրվել՝ հանգելով

$S=\frac{U}{T}+\frac{PV}{T}+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_{i}N}{T})$։

Մասսիոյի պոտենցիալ / Հելմհոլցի ազատ էնտրոպիա

$\mathrm{\Phi }=S-\frac{U}{T}$

$\mathrm{\Phi }=\frac{U}{T}+\frac{PV}{T}+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_{i}N}{T})-\frac{U}{T}$

$\mathrm{\Phi }=\frac{PV}{T}+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_{i}N}{T})$

Վերցնելով $\mathrm{\Phi }$-ի սահմանումը և լրիվ դիֆերենցելով՝ Լեժանդրի ձևափոխությունների միջոցով կունենանք

$d\mathrm{\Phi }=dS-\frac{1}{T}dU-Ud\frac{1}{T}$,

$d\mathrm{\Phi }=\frac{1}{T}dU+\frac{P}{T}dV+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i-\frac{1}{T}dU-Ud\frac{1}{T}$,

$d\mathrm{\Phi }=-Ud\frac{1}{T}+\frac{P}{T}dV+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i$։

Վերևի դիֆերենցիալներն էքստենսիվ մեծություններ չեն, այնպես որ հավասարումը կարող է ուղղակի չինտեգրվել։ $d\mathrm{\Phi }$-ից տեսնում ենք, որ

$\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(\frac{1}{T},V,\{N_i\})$։

Եթե հակադարձ փոփոխականները ցանկալի չենԿաղապար:Rp

$d\mathrm{\Phi }=dS-\frac{TdU-UdT}{T^2}$,

$d\mathrm{\Phi }=dS-\frac{1}{T}dU+\frac{U}{T^2}dT$,

$d\mathrm{\Phi }=\frac{1}{T}dU+\frac{P}{T}dV+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i-\frac{1}{T}dU+\frac{U}{T^2}dT$,

$d\mathrm{\Phi }=\frac{U}{T^2}dT+\frac{P}{T}dV+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i$,

$\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(T,V,\{N_i\})$։

Պլանկի պոտենցիալ / Գիբսի ազատ էնտրոպիա

$\mathrm{\Xi }=\mathrm{\Phi }-\frac{PV}{T}$

$\mathrm{\Xi }=\frac{PV}{T}+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_{i}N}{T})-\frac{PV}{T}$

$\mathrm{\Xi }=\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_{i}N}{T})$

Վերցնելով $\mathrm{\Xi }$-ի սահմանումը և լրիվ դիֆերենցելով՝ Լեժանդրի ձևափոխությունների միջոցով ունենք

$d\mathrm{\Xi }=d\mathrm{\Phi }-\frac{P}{T}dV-Vd\frac{P}{T}$

$d\mathrm{\Xi }=-Ud\frac{2}{T}+\frac{P}{T}dV+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i-\frac{P}{T}dV-Vd\frac{P}{T}$

$d\mathrm{\Xi }=-Ud\frac{1}{T}-Vd\frac{P}{T}+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i$։

Վերևի դիֆերենցիալները բոլորը էքստենսիվ մեծություններ չեն, այնպես որ հավասարումը կարող է ուղղակի չինտեգրվել։ $d\mathrm{\Xi }$-ից տեսնում ենք, որ

$\mathrm{\Xi }=\mathrm{\Xi }(\frac{1}{T},\frac{P}{T},\{N_i\})$։

Եթե հակադարձ փոփոխականները ցանկալի չենԿաղապար:Rp

$d\mathrm{\Xi }=d\mathrm{\Phi }-\frac{T(PdV+VdP)-PVdT}{T^2}$,

$d\mathrm{\Xi }=d\mathrm{\Phi }-\frac{P}{T}dV-\frac{V}{T}dP+\frac{PV}{T^2}dT$,

$d\mathrm{\Xi }=\frac{U}{T^2}dT+\frac{P}{T}dV+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i-\frac{P}{T}dV-\frac{V}{T}dP+\frac{PV}{T^2}dT$,

$d\mathrm{\Xi }=\frac{U+PV}{T^2}dT-\frac{V}{T}dP+\sum _{i=1}^s(-\frac{{\mu }_i}{T})d{N}_i$,

$\mathrm{\Xi }=\mathrm{\Xi }(T,P,\{N_i\})$։

Գրականություն

• Կաղապար:Cite journal

• Կաղապար:Cite book