Գալուայի խումբ

Գալուայի խումբ, խումբ, դաշտի ընդարձակման հետ զուգակցվող խումբ։ Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում, մասնավորապես՝ Գալուայի տեսության մեջ։ 1832 թվականին Էվարիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։

Սահմանում

Ենթադրենք K դաշտը հանդիսանում է P-ի Գալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝ $f$-ը, իր վրա անվանում են ավտոմորֆ, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե K դաշտի ցանկացած $a,b$ տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը․

$f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)\cdot f(b)$.

Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է K դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով P դաշտի տարրեր։ $\mathrm{\forall }a\in Pf(a)=a$.Սովորաբար նշանակում են G(K, P) կամ Gal(K, P).

Հատկություն

• Գալուայի խմբի վերջավոր ընդլայնումը վերջավոր է։ Նրա հաջորդականությունը (տարրերի քանակը) հավասար է [K:P] ընդլայնման աստիճանին։

Օրինակներ

• Եթե ընդլայնված դաշտը համընկնում է սկզբնականի հետ, ապա Գալուայի խումբը պարունակում է միայն մեկ տարր, միավոր՝ (նույնական автоморфизм).
• Բնական թվերի դաշտի ընդլայնումը մինչև բոլոր կոմպլեքս թվերի դաշտի, Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավորը և կոմպլեքս համալուծը։
• $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ ընդլայնված դաշտը կազմված է $a+b\sqrt{2}$ տեսքի թվերից, որտեղ a, b-ն ռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին$\sqrt{2}$ փոքրացնող նշանի գործողություն։
• Ենթադրենք p-ն  պարզ թիվ է, դիտարկենք ${𝔽}_p$ и ${𝔽}_{p^n}$ վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝

$x\mapsto x^p$.

• Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում $P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0$։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով։ $y=1/x,y=x^2,y=-(x^3+x^2+x+1)$. $y=1/x$-ի համար հետևում է $y^4+y^3+y^2+y+1=(x^4+x^3+x^2+x+1)/x^4$, այսինքն՝ $P(y)=P(x)/x^4$.։ Ուստի $P(x)=0$-ից հետևում է, որ $P(y)=0$։ Դա ցույց է տալիս, որ $P(x)=0$ հավասարումը թույլ է տալիս $y=1/x$ ձևափոխությունը։ $y=x^2$-ի համար ստացվում է $y^4+y^3+y^2+y+1=x^8+x^6+x^4+x^2+1$։ Այդ հավասարման բաժանումը $P(x)$ սկզբնական հավասարման տալիս է $P(y)=(x^4-x^3+x^2-x+1)P(x)$։ Այսպիսով $y=x^2$ ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է $P(x)$հավասարմանը։ Նման ձևով $y=-(x^3+x^2+x+1)$ ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝ $P(y)=(x^8+3x^7+6x^6+9x^5+9x^4+7x^3+4x^2+x+1)P(x)$։ Օգտագործելով $x^4=-(x^3+x^2+x+1)$ տեղափոխությունը գտնում ենք, որ $x^5=x*x^4=-(x^4+x^3+x^2+x)=1,x^6=x*x^5=x$ և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ $P(x)$ հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների $y=x^n$ խմբեր, որտեղ $n$-ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։ Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է $y=x^3$ ձևափոխությունը։ Դրա համար ունենք $P(y)=x^{12}+x^9+x^6+x^3+1=x^2+x^4+x+x^3+1=0$ ձևափոխությունը։ $n$-ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է $y=1/x$ ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի $y=x^n$ փոխարկումը տեղափոխում է $P(x)$ հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է $P(x)$ հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահաշվի կուրսից հայտնի է, որ $P(x)$-ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝ $x_1=z,x_2=z^2,x_3=z^3,x_4=z^4,z=e^{2*\pi *i/5}$։ $y=x^2$ ձևափոխությունը տեղափոխում է $x_1$ արմատը $x_2$-ում, արմատ $x_2$ -ը՝ $x_4$-ում, արմատ $x_3$-ը՝ $x_1$-ում, արմատ $x_4$-ը $x_3$-ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են $(x_1,x_2,x_4,x_3)$։ Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ $y=x^3$ ձևափոխությունները բերվում է $(x_1,x_3,x_4,x_2)$ տեղափոխության։ $y=1/x$ ձևափոխությունը բերվում է $(x_1,x_4),(x_2,x_3)$ տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով $P(x)$ հավասարման արմատների $y=x^n$ ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է $1,(x_1,x_2,x_4,x_3),(x_1,x_3,x_4,x_2),(x_1,x_4),(x_2,x_3)$։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են $P(x)$ հավասարման Գալուայի խմբեր.

Կիրառում

Դաշտի ընդլայնում

Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝ $L_1\subset L_2\subset \cdots \subset L_n.$ Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝ $G=Gal(L_n,L_1).$ Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմի՝ օղակում $L_k$ դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է G խմբի $G_k$ ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին, որը նեղանում է G-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը (այսինքն՝ $L_1\subset X\subset L_n$ տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։ Այդ ենթախմբերում, տվյալ համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է G նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։

Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։ Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։

Հանրահաշվական հավասարում

Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ, ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։

Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոմորֆությունից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ G(K, P)Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ P դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կարելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվարիստ Գալուան)։

Գրականություն

• Galois Representations

Արտաքին հղումներ

• Galois Groups and the Symmetries of Polynomials