Գլանային կոորդինատային համակարգ

Գլանաձև կոորդինատային համակարգ

Գլանաձև կոորդինատային համակարգ, եռաչափ կոորդինատային համակարգ է, որը սահմանում է կետերի դիրքերը՝ կախված ընտրված առանցքի հեռավորությունից (առանցքը L՝ հակառակ պատկերում), առանցքից ուղղությունը ընտրված հղման ուղղության նկատմամբ (առանցք A) և հեռավորությունը առանցքին ուղղահայաց ընտրված հղման հարթությունից (մանուշակագույն հատված պարունակող հարթություն)։ Վերջին հեռավորությունը տրվում է որպես դրական կամ բացասական թիվ՝ կախված նրանից, թե հղման հարթության որ կողմն է ուղղված կետին։

Համակարգի ծագումն այն կետն է, որտեղ բոլոր երեք կոորդինատները կարող են տրվել որպես զրո։ Սա հղման հարթության և առանցքի խաչմերուկն է։ Առանցքը տարբեր կերպ կոչվում է գլանաձև կամ երկայնական առանցք՝ այն տարբերելու բևեռային առանցքից, որն այն ճառագայթն է, որն ընկած է հղման հարթությունում՝ սկսած սկզբնակետից և ուղղված է հղման ուղղությամբ։ Երկայնական առանցքին ուղղահայաց մյուս ուղղությունները կոչվում են շառավղային գծեր։

Առանցքից հեռավորությունը կարելի է անվանել շառավղային հեռավորություն կամ շառավիղ, մինչդեռ անկյունային կոորդինատը երբեմն կոչվում է անկյունային դիրք կամ ազիմուտ։ Շառավիղը և ազիմուտը միասին կոչվում են բևեռային կոորդինատներ, քանի որ դրանք համապատասխանում են հարթության երկչափ բևեռային կոորդինատների համակարգին, որն անցնում է կետով, հղումային հարթությանը զուգահեռ։ Երրորդ կոորդինատը կարող է կոչվել բարձրություն կամ բարձրություն (եթե հղման հարթությունը համարվում է հորիզոնական), երկայնական դիրք, կամ առանցքային դիրք։

Գլանաձև կոորդինատները օգտակար են երկայնական առանցքի շուրջ որոշակի պտտվող սիմետրիա ունեցող առարկաների և երևույթների հետ կապված, ինչպիսիք են ջրի հոսքը ուղիղ խողովակում՝ կլոր խաչմերուկով, ջերմության բաշխումը մետաղական գլանում, էլեկտրամագնիսական դաշտերը, որոնք առաջանում են էլեկտրական հոսանքի միջոցով։ երկար, ուղիղ մետաղալարեր, ակրեցիոն սկավառակներ աստղագիտության մեջ և այլն։

Դրանք երբեմն կոչվում են «գլանային բևեռային կոորդինատներ» և «բևեռային գլանաձև կոորդինատներ» և երբեմն օգտագործվում են գալակտիկայում աստղերի դիրքը որոշելու համար («գալակտոկենտրոն գլանաձև բևեռային կոորդինատներ»)։

Սահմանում

P կետի երեք կոորդինատները (ρ, φ, z) սահմանվում են հետևյալ կերպ.

• Ռ ճառագայթային հեռավորությունը էվկլիդեսյան հեռավորությունն է զ առանցքից մինչև Պի կետ։
• Ֆ ազիմուտը անկյունն է ընտրված հարթության վրա հղման ուղղության և հարթության վրա Պի սկզբնակետից մինչև Պի պրոյեկցիան գծի միջև։
• Առանցքային կոորդինատը կամ բարձրությունը զ-ն ընտրված հարթությունից մինչև Պի կետ նշանավոր հեռավորությունն է։

Եզակի գլանաձև կոորդինատներ

Ինչպես բևեռային կոորդինատներում, նույն կետը գլանաձև կոորդինատներով (ρ, φ, z) ունի անսահման շատ համարժեք կոորդինատներ, մասնավորապես (ρ, φ ± n×360°, z) և (−ρ, φ ± (2n + 1)×։ 180°, z), որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Ավելին, եթե շառավիղը զրո է, ապա ազիմուտը կամայական է։

Այն իրավիճակներում, երբ ինչ-որ մեկը ցանկանում է յուրաքանչյուր կետի համար եզակի կոորդինատների հավաքածու,շառավիղը չի կարող լինել ոչ բացասական (ρ ≥ 0), իսկ φ ազիմուտը՝ 360° ընդգրկող որոշակի միջակայքում, օրինակ՝ [−180°, +180°] կամ [0,360°]:

Կոնվենցիաներ

Գլանային կոորդինատների նշումը միատեսակ չէ։ ԻՍՈ ստանդարտ 31-11-ը խորհուրդ է տալիս (ρ, φ, z), որտեղ ρ-ը ճառագայթային կոորդինատն է, φ ազիմուտը և z բարձրությունը։ Այնուամենայնիվ, շառավիղը նաև հաճախ նշվում է r կամ s, ազիմուտը՝ θ կամ t, իսկ երրորդ կոորդինատը՝ h կամ (եթե գլանաձև առանցքը հորիզոնական է) x կամ համատեքստին հատուկ տառերով։

Գլանային կոորդինատների կոորդինատային մակերեսները (ρ, φ, z). Կարմիր մխոցը ցույց է տալիս ρ = 2-ով կետերը, կապույտ հարթությունը ցույց է տալիս z = 1-ով կետերը, իսկ դեղին կիսհարթությունը՝ φ = −60°-ով կետերը: Z-առանցքը ուղղահայաց է, իսկ x-առանցքը ընդգծված է կանաչով: Երեք մակերեսները հատվում են P կետում այդ կոորդինատների հետ (ցուցադրվում է որպես սև գունդ); P-ի դեկարտյան կոորդինատները մոտավորապես (1.0, −1.732, 1.0) են։

Գլանաձև կոորդինատային մակերեսներ. Երեք ուղղանկյուն բաղադրիչներ՝ ρ (կանաչ), φ (կարմիր) և z (կապույտ), որոնցից յուրաքանչյուրը աճում է հաստատուն արագությամբ: Կետը գտնվում է երեք գունավոր մակերեսների խաչմերուկում:

Կոնկրետ իրավիճակներում և շատ մաթեմատիկական գծագրերում դրական անկյունային կոորդինատը չափվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ինչպես երևում է դրական բարձրություն ունեցող ցանկացած կետից։

Կոորդինատների համակարգի փոխարկումները

Գլանային կոորդինատային համակարգը շատ եռաչափ կոորդինատային համակարգերից մեկն է։ Նրանց միջև փոխակերպման համար կարող են օգտագործվել հետևյալ բանաձևերը։

Դեկարտյան կոորդինատները

Գլանային և դեկարտյան կոորդինատների փոխակերպման համար հարմար է ենթադրել, որ առաջինի հարթությունը դեկարտյան xy հարթությունն է (z = 0 հավասարումով), իսկ գլանաձև առանցքը դեկարտյան z առանցքն է։ Այնուհետև z-կոորդինատը նույնն է երկու համակարգերում, և գլանաձևի (ρ, φ, z) և դեկարտյան (x, y, z) միջև համապատասխանությունը նույնն է, ինչ բևեռային կոորդինատների համար, մասնավորապես. $$\begin{array}{cc}x& =\rho \cos \phi \\ y& =\rho \sin \phi \\ z& =z\end{array}$$ մի ուղղությամբ, և $$\begin{array}{cc}\rho & =\sqrt{x^2+y^2}\\ \phi & =\{\begin{array}{cc}\text{indeterminate}& \text{if }x=0\text{ and }y=0\\ \arcsin \left(\frac{y}{\rho }\right)& \text{if }x\ge 0\\ -\arcsin \left(\frac{y}{\rho }\right)+\pi & \text{if }x<0\text{ and }y\ge 0\\ -\arcsin \left(\frac{y}{\rho }\right)+\pi & \text{if }x<0\text{ and }y<0\end{array}\end{array}$$ մյուսի մեջ։ Արկսինային ֆունկցիան սինուսի ֆունկցիայի հակառակն է և ենթադրվում է, որ վերադարձնում է տիրույթի անկյունը Կաղապար:Math = Կաղապար:Math։ Այս բանաձևերը տալիս են ազիմուտ φ միջակայքում Կաղապար:Math.

Օգտագործելով արկտանգենս ֆունկցիան, որը վերադարձնում է նաև տիրույթի անկյուն Կաղապար:Math = Կաղապար:Math, կարելի է նաև հաշվարկել 𝜑 առանց հաշվարկների 𝜌  առաջին $$\begin{array}{cc}\phi & =\{\begin{array}{cc}\text{indeterminate}& \text{if }x=0\text{ and }y=0\\ \frac{\pi }{2}\frac{y}{|y|}& \text{if }x=0\text{ and }y\ne 0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)& \text{if }x>0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)+\pi & \text{if }x<0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\pi & \text{if }x<0\text{ and }y<0\end{array}\end{array}$$ Այլ բանաձևերի համար տե՛ս Բևեռային կոորդինատային համակարգը։

Շատ ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են ֆունկցիա, որը կհաշվի ճիշտ ազիմուտ φ, (−π, π) միջակայքում, տրված x և y, առանց վերը նշված դեպքերի վերլուծություն կատարելու անհրաժեշտության։ Օրինակ, այս ֆունկցիան C ծրագրավորման լեզվում կոչվում է atan2(y, x), իսկ Common Lisp-ում (atan y x):

Գնդաձև կոորդինատներ

Գնդային կոորդինատները (շառավիղ r, բարձրություն կամ թեքություն θ, ազիմուտ φ), կարող են փոխարկվել գլանաձև կոորդինատների կամ դրանցից՝ կախված նրանից, թե θ-ը ներկայացնում է բարձրություն կամ թեքություն, հետևյալ կերպ,

Գնդաձև և գլանաձև կոորդինատների միջև փոխակերպում

Փոխակերպում	կոորդինատ	Կաղապար:Mvar բարձրություն	Կաղապար:Mvar թեքություն
Գլանաձև	Կաղապար:Mvar =	Կաղապար:Math	Կաղապար:Math
	Կաղապար:Mvar =	Կաղապար:Mvar
	Կաղապար:Mvar =	Կաղապար:Math	Կաղապար:Math
Գնդաձև	Կաղապար:Mvar =	$\sqrt{{\rho }^2+z^2}$
	Կաղապար:Mvar =	$\arctan \left(\frac{z}{\rho }\right)$	$\arctan \left(\frac{\rho }{z}\right)$
	Կաղապար:Mvar =	Կաղապար:Mvar

Գծային և ծավալային տարրեր

Գլանային կոորդինատներում ծավալների ինտեգրման մանրամասների համար օգտվում են մի քանի ինտեգրալներից, իսկ վեկտորային հաշվարկի բանաձևերի համար՝ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատներից։

Գլանաձև բևեռային կոորդինատների հետ կապված բազմաթիվ խնդիրների դեպքում օգտակար է իմանալ գծի և ծավալի տարրերը. դրանք օգտագործվում են ինտեգրման մեջ՝ ուղիների և ծավալների հետ կապված խնդիրների լուծման համար։

Գծային տարրն է$$\mathrm{d}𝒓=\mathrm{d}\rho \hat{\mathit{\rho }}+\rho \mathrm{d}\phi \hat{\mathit{\phi }}+\mathrm{d}z\widehat{𝒛}.$$

Ծավալի տարրն է $$\mathrm{d}V=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}z.$$

Մակերեւութային տարրը հաստատուն շառավղով ρ (ուղղահայաց գլան) մակերեսում է

$$\mathrm{d}{S}_{\rho }=\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}z.$$

Մակերեւութային տարրը հաստատուն ազիմուտ φ (ուղղահայաց կիսահարթություն) մակերեսում է

$$\mathrm{d}{S}_{\phi }=\mathrm{d}\rho \mathrm{d}z.$$

Մակերեւութային տարրը մշտական բարձրության z (հորիզոնական հարթություն) մակերեսում է

$$\mathrm{d}{S}_z=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi .$$

Այս համակարգում del օպերատորը հանգեցնում է գրադիենտի, դիվերգենցիայի, գանգուրի և լապլասիի հետևյալ արտահայտությունների։

$$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }f& =\frac{\partial f}{\partial \rho }\hat{\mathit{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝒛}\\ [8px]\mathrm{\nabla }\cdot 𝑨& =\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho A_{\rho }\right)+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}\\ [8px]\mathrm{\nabla }\times 𝑨& =(\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \phi }-\frac{\partial A_{\phi }}{\partial z})\hat{\mathit{\rho }}+(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho })\hat{\mathit{\phi }}+\frac{1}{\rho }(\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho A_{\phi }\right)-\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \phi })\widehat{𝒛}\\ [8px]{\mathrm{\nabla }}^{2}f& =\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}\end{array}$$

Գլանային ներդաշնակություն

Գլանային համաչափություն ունեցող համակարգում Լապլասի հավասարման լուծումները կոչվում են գլանային ներդաշնակություն։

Կինեմատիկա

Գլանաձև կոորդինատային համակարգում մասնիկի դիրքը կարելի է գրել այսպես $$𝒓=\rho \hat{\mathit{\rho }}+z\widehat{𝒛}.$$ Մասնիկի արագությունը նրա դիրքի ժամանակային ածանցյալն է, $$𝒗=\frac{\mathrm{d}𝒓}{\mathrm{d}t}=\dot{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+\rho \dot{\phi }\hat{\mathit{\phi }}+\dot{z}\widehat{𝒛},$$ որտեղ ժամանակը $\rho \dot{\phi }\hat{\phi }$ հաշվում են Պուասոնի բանաձևով $\frac{\mathrm{d}\hat{\rho }}{\mathrm{d}t}=\dot{\phi }\hat{z}\times \hat{\rho }$. Իսկ արագացումը ստացվում է $$𝒂=\frac{\mathrm{d}𝒗}{\mathrm{d}t}=(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\phi }}^2)\hat{\mathit{\rho }}+(2\dot{\rho }\dot{\phi }+\rho \ddot{\phi })\hat{\mathit{\phi }}+\ddot{z}\widehat{𝒛}$$