Պաուլիի հավասարում

Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգեր-Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգերի հավասարման ձևակերպումը կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար, որը հաշվի է առնում մասնիկի սպինի փոխազդեցությունն արտաքին էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ։ Այն Դիրակի հավասարման ոչ ռելյատիվիստական սահմանն է և կարող է օգտագործվել միայն լույսի արագությունից փոքր արագությամբ շարժվող մասնիկի դեպքում, այնպես որ ռելյատիվիստական էֆեկտները տեղի չունեն։ Ձևակերպել է Վոլֆգանգ Պաուլին 1927 թ.։

Հավասարման տեսքը

m զանգվածով և q լիցքով մասնիկի համար, որը գտնվում է A = (A_x, A_y, A_z) վեկտորական պոտենցիալով և ϕ սկալյար պոտենցիալով նկարագրվող էլեկտրամագնիսական դաշտում , Պաուլիի հավասարումը հետևյալն է՝

$[\frac{1}{2m}(\mathit{\sigma }\cdot (𝐩-q𝐀){)}^2+q\varphi ]|\psi ⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩$,

որտեղ σ = (σ_x, σ_y, σ_z) Պաուլիի մատրիցներն են՝ հարմարության համար վեկտորական տեսքով ներկայացված, p = −iħ∇-ն իմպուլսի օպերատորն է, որտեղ ∇ նշանակված է գրադիենտի օպերատորը և

$|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}{\psi }_{+}\\ {\psi }_{-}\end{array}\right)$

երկու բաղադրիչային սպինորային ալիքային ֆունկցիան է, Դիրակի նշանակումներով գրված Երկչափ վեկտորով։

Համիլտոնյան օպերատորը՝

$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\mathit{\sigma }\cdot (𝐩-q𝐀){)}^2+q\varphi$

Պաուլիի մատրիցների պատճառով 2 × 2 մատրիցային օպերատոր է։ Տեղադրելով Շրյոդինգերի հավասարման մեջ՝ կստանանք Պաուլիի հավասարումը։ Համիլտոնյանը նման է էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ փոխազդող դասական hամիլտոնյանին։ Կինետիկ էներգիայի բաղադրիչը ազատ մասնիկի համար էլեկտրամագնիսական դաշտի բացակայությամբ պարզապես p²/2m է, որտեղ p-ն կինետիկ իմպուլսն է, մինչդեռ էլեկտրամագնիսական դաշտի առկայությամբ ունենք p = P − qA կեղծ զույգը, որտեղ P-ն կանոնիկ իմպուլսն է։

Պաուլիի վեկտորական նույնականացման միջոցով կարելի է Պաուլիի մատրիցները հանել կինետիկ էներգիայի անդամից

$(\mathit{\sigma }\cdot 𝐚)(\mathit{\sigma }\cdot 𝐛)=𝐚\cdot 𝐛+i\mathit{\sigma }\cdot (𝐚\times 𝐛)$

Ստանալու համար

$\hat{H}=\frac{1}{2m}[{(𝐩-q𝐀)}^2-q\hslash \mathit{\sigma }\cdot 𝐁]+q\varphi$

որտեղ B = ∇ × A-ն մագնիսական դաշտն է։

Կապը Շրյոդինգերի հավասարման և Դիրակի հավասարման հետ

Պաուլիի հավասարումը ոչ ռելյատիվիստական է, սակայն այն չի կանխատեսում սպինը։ Որպես այդպիսին, կարելի է մտածել, որ նա միջին տեղ է գրավում Շրյոդինհերի հայտնի հավասարման (կոմպլեքս սկալյար ալիքային ֆունկցիայով), որը ոչ ռելյատիվիստական է և չի կանխատեսում սպինը և Դիրակի հավասարման (կոմպլեքս չորս բաղադրիչով սպինորով) միջև, որն ամբողջովին ռելյատիվիստական է և կանխատեսում է սպինը։

Նշենք, որ Պաուլիի մատրիցների հետևանքով եթե A մագնիսական վեկտորական պոտենցիալը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումն ընդունում է Շրյոդինգերի հավասարման տեսքը մասնիկի համար ϕ ամբողջովին էլեկտրական պոտենցիալով, բացառությամբ, որ այն ազդում է երկու բաղադրիչանի սպինորի վրա։ Այսպիսով, մենք կարող ենք տեսնել, որ մասնիկի սպինն ազդում է իր շարժման վրա միայն մագնիսական դաշտի ազդեցության դեպքում։

Հատուկ դեպքեր

Երկու սպինորային բաղադրիչները բավարարում են Շրյոդինգերի հավասարմանը։ Արտաքին B դաշտի ազդեցությամբ Պաուլիի հավասարումը գրվում է

$\underset{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}{\underbrace{i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|{\psi }_{\pm }⟩=(\frac{(𝐩-q𝐀{)}^2}{2m}+q\varphi )\hat{1}\mathbf{|}\psi ⟩}}-\underset{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}{\underbrace{\frac{q\hslash }{2m}\mathit{\sigma }\cdot 𝐁\mathbf{|}\psi ⟩}}$

որտեղ

$\hat{1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

2 × 2 նույնականացման մատրիցն է, որը գործում է որպես նույնականացման օպերատոր։

Շտեռն-Գեռլախի տերմիններով կարելի է ստանալ սպինի կողմնորոշումը մեկ վալենտական էլեկտրոնով ատոմի համար։ Նման կերպ, մագնիսական դաշտում սպեկտչալ գծերի միաձուլման համար պատասխանատու անդամը կարելի է տեսնել Զեեմանի անոմալ էֆեկտում։